Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Объем тела вращения
СообщениеДобавлено: 19 фев 2013, 12:20 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 фев 2013, 15:34
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линией [math]x^{ \frac{ 2 }{ 3 } }+y^{ \frac{ 2 }{ 3 } }=a^{ \frac{ 2 }{ 3 } }[/math] вокруг оси Ох

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Объем тела вращения
СообщениеДобавлено: 19 фев 2013, 12:48 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 12112
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1019
Спасибо получено:
3416 раз в 2996 сообщениях
Очков репутации: 651

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Думаю, так:

[math]V=\pi \int \limits_0^a \left (a^{\frac 23}-x^{\frac 23} \right )^2 \, dx=\pi \left (a^{\frac 43} x -\frac 65 a^{\frac 23} x^{\frac 53}+\frac 37 x^{\frac 73} \right )\bigg |_0^a=\frac{8\pi}{35}a^{\frac 73}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Yurik
 Заголовок сообщения: Re: Объем тела вращения
СообщениеДобавлено: 19 фев 2013, 18:06 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 12112
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1019
Спасибо получено:
3416 раз в 2996 сообщениях
Очков репутации: 651

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ой, стоп! Я дико извиняюсь. Забыл, что игрек в степени две трети. Тогда под интегралом выражение в скобках надо не в квадрате, а в кубе. Верно так:

[math]V=\pi \int \limits_0^a \left (a^{\frac 23}-x^{\frac 23} \right )^3 \, dx=\pi \left (\frac 97 a^{\frac 23} x^{\frac 73} -\frac 95 a^{\frac 43} x^{\frac 53}+a^2 x - \frac {x^3}{3} \right )\bigg |_0^a=\frac{16\pi}{105}a^3[/math]

И результат более красивый - часть от [math]a[/math] в кубе.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Объем тела вращения
СообщениеДобавлено: 19 фев 2013, 18:50 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19243
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11381
Спасибо получено:
5145 раз в 4645 сообщениях
Очков репутации: 692

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А можно параметризовать кривую:[math]x=a\cos^3{t}, y=a\sin^3{t}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Объем тела вращения
СообщениеДобавлено: 20 фев 2013, 08:28 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1858
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 273
Спасибо получено:
967 раз в 762 сообщениях
Очков репутации: 228

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Ой, стоп! Я дико извиняюсь. Забыл, что игрек в степени две трети. Тогда под интегралом выражение в скобках надо не в квадрате, а в кубе. Верно так:

[math]V=\pi \int \limits_0^a \left (a^{\frac 23}-x^{\frac 23} \right )^3 \, dx=\pi \left (\frac 97 a^{\frac 23} x^{\frac 73} -\frac 95 a^{\frac 43} x^{\frac 53}+a^2 x - \frac {x^3}{3} \right )\bigg |_0^a=\frac{16\pi}{105}a^3[/math]

И результат более красивый - часть от [math]a[/math] в кубе.


Результат на два нужно умножить.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Объем тела вращения
СообщениеДобавлено: 20 фев 2013, 09:01 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 12112
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1019
Спасибо получено:
3416 раз в 2996 сообщениях
Очков репутации: 651

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Стал проверять на примере: пусть [math]a=8[/math], тогда [math]a^{\frac 23}=4[/math]

Линия [math](4-x^{\frac 23})^{\frac 32}[/math] вогнутая http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... %3D0..8%29

Следовательно объем тела вращения должен быть меньше объема конуса (визуально примерно в раза два).

Найдем объем конуса:

[math]V_k=\frac{\pi 8^2 \cdot 8}{3}\approx 536[/math]

Объем нашего тела:

[math]V=\frac{16\pi}{105} 8^3 \approx 245[/math]

То есть все верно!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Объем тела вращения
СообщениеДобавлено: 20 фев 2013, 09:23 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1858
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 273
Спасибо получено:
967 раз в 762 сообщениях
Очков репутации: 228

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]x \in \left[ { - a,a} \right][/math]
Астроида
Кривая симметрична относительно осей координат.
Вы построили только в первом квадранте.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Объем тела вращения
СообщениеДобавлено: 20 фев 2013, 10:25 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 12112
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1019
Спасибо получено:
3416 раз в 2996 сообщениях
Очков репутации: 651

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, извиняюсь. Действительно

http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... 3D-8..8%29

Просто в первой попытке не так степени проставил.

Ответ, конечно, такой

[math]V=\frac{32 \pi}{105}a^3[/math]

Решение в параметрической форме рассматривалось тут (Пример 6):
static.php?p=obem-tela-vrashcheniya

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Alexdemath, Empik
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Объем тела вращения

в форуме Интегральное исчисление

TheGuy

18

381

15 апр 2017, 08:48

Объем тела вращения

в форуме Интегральное исчисление

Wersel

1

292

10 апр 2013, 16:59

Объем тела вращения

в форуме Интегральное исчисление

constantin01

2

88

10 авг 2019, 22:24

Объем тела вращения 2

в форуме Интегральное исчисление

Ryslannn

4

137

27 апр 2017, 16:50

Объем тела вращения

в форуме Интегральное исчисление

danil123

19

451

26 май 2014, 14:20

Объём тела вращения

в форуме Интегральное исчисление

Alina321

1

240

17 янв 2014, 14:50

Объём тела вращения

в форуме Интегральное исчисление

iraTKACHENKO

0

177

20 май 2014, 18:11

Объем тела вращения

в форуме Интегральное исчисление

constantin01

1

60

20 апр 2019, 13:11

Объем тела вращения

в форуме Интегральное исчисление

paradise

8

599

14 июн 2012, 22:22

Объём тела вращения

в форуме Интегральное исчисление

plastidas

1

854

02 июн 2013, 11:39


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Ilya Sokolov и гости: 15


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved