Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Масса распределенная по поверхности с плотностью
СообщениеДобавлено: 05 янв 2013, 13:18 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 17:03
Сообщений: 134
Cпасибо сказано: 51
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Поверхность конус запечатанный в цилиндр:
[math]$$\sqrt {{x^2} + {y^2}} = z,{x^2} + {y^2} = 2x$$[/math]
Плотность:
[math]$$p(x,y,z) = xy + yz + xz$$[/math]

Параметризация:
[math]$$x = \cos \varphi \cos \psi $$[/math]
[math]$$y = \sin \varphi \cos \psi $$[/math]
[math]$$z = \sin \psi $$[/math]
[math]$$ - \frac{\pi}{2}\leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{4}\leqslant \psi \leqslant \frac{\pi}{2}$$[/math]
Коэффициенты:
[math]$$E ={\cos ^2}\psi $$[/math]
[math]$$G ={\sin ^2}\psi $$[/math]
Двойной интеграл:
[math]$$\iint\limits_\Delta{(\cos \varphi{{\cos}^2}\psi \sin \varphi +}\sin \varphi \cos \psi \sin \psi + \sin \varphi \cos \psi \sin \psi )\cos \psi \sin \psi d\varphi d\psi = $$[/math]
[math]$$ = \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{d\psi}\int\limits_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{(\sin \psi \cos \varphi{{\cos}^3}\psi \sin \varphi}+ \sin \varphi{\cos ^2}\psi{\sin ^2}\psi + \cos \varphi )d\varphi = $$[/math]
Первое и второе слагаемое уходят в 0
[math]$$ = 2\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{{{\cos}^2}\psi{{\sin}^2}\psi d\psi}= \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{{{\sin}^2}2\psi d\psi}= \frac{1}{4}\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{d\psi}- \frac{1}{4}\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{\cos 4\psi d\psi}= \frac{\pi}{{16}}$$[/math]

Вроде бы ответ красивый. Но я сильно сомневаюсь, что я правильно составил двойной интеграл

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Масса распределенная по поверхности с плотностью
СообщениеДобавлено: 05 янв 2013, 15:41 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1889
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 276
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\begin{gathered} D = \left\{ {\left( {x,y} \right) \,\colon{{(x - 1)}^2} + {y^2} \leqslant 1} \right\} \hfill \\ M = \iint\limits_S {p\left( {x,y,z} \right)dS} = \iint\limits_D {p\left( {x,y,\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)\sqrt {1 + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} dxdy} = \sqrt 2 \iint\limits_D {p\left( {x,y,\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)\sqrt {{x^2} + {y^2}} dxdy} \hfill \\ \end{gathered}[/math]
Перейдем к полярным координатам [math]x = r\cos \varphi ,y = r\sin \varphi[/math]
[math]M = \sqrt 2 \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } \int\limits_0^{2\cos \varphi } {\left( {{r^2}\cos \varphi \sin \varphi + {r^2}\cos \varphi + {r^2}\sin \varphi } \right){r^2}dr} = ... = \frac{{64\sqrt 2 }}{5}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^6}\varphi d\varphi } = ... = 2\sqrt 2 \pi[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Масса распределенная по поверхности с плотностью
СообщениеДобавлено: 05 янв 2013, 17:08 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 17:03
Сообщений: 134
Cпасибо сказано: 51
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Почему якобиан r^2, а не r?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Масса распределенная по поверхности с плотностью
СообщениеДобавлено: 06 янв 2013, 11:19 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Nightwish7

Потому что перед дифференциалами ещё есть [math]\sqrt{x^2+y^2}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Масса распределенная по поверхности с плотностью
СообщениеДобавлено: 06 янв 2013, 15:16 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 17:03
Сообщений: 134
Cпасибо сказано: 51
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath

А почему перед дифференциалом есть этот корень?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Масса распределенная по поверхности с плотностью
СообщениеДобавлено: 06 янв 2013, 15:43 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1889
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 276
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Nightwish7

Вы проходили поверхностный интеграл первого рода?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Масса распределенная по поверхности с плотностью
СообщениеДобавлено: 06 янв 2013, 16:23 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 17:03
Сообщений: 134
Cпасибо сказано: 51
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
erjoma

[math]\sqrt {1 + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} = \sqrt {1 + \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} = \sqrt {1 + 1} = \sqrt 2[/math]

Почему корень остался??

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Nightwish7 "Спасибо" сказали:
erjoma
 Заголовок сообщения: Re: Масса распределенная по поверхности с плотностью
СообщениеДобавлено: 07 янв 2013, 01:42 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1889
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 276
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Nightwish7 писал(а):
erjoma

[math]\sqrt {1 + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} = \sqrt {1 + \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} = \sqrt {1 + 1} = \sqrt 2[/math]

Почему корень остался??


Потому что я ошибся.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Масса кривой L с заданной плотностью

в форуме Интегральное исчисление

qomimura

0

197

16 окт 2019, 01:28

Масса тела с плотностью через тройной интеграл

в форуме Интегральное исчисление

honey

4

284

07 апр 2020, 18:14

Вычислить массу поверхности G с плотностью W(x,y,z);

в форуме Интегральное исчисление

Gragazavr

4

1013

01 июн 2017, 15:19

Масса конической поверхности

в форуме Интегральное исчисление

Lednik45

2

107

02 дек 2023, 22:26

Масса однородного участка поверхности

в форуме Интегральное исчисление

Valerikk

16

601

30 апр 2020, 11:15

Х- НСВ с плотностью

в форуме Теория вероятностей

xMaserati

6

297

14 янв 2015, 14:18

Случайная величина X задана плотностью распределения f(x)

в форуме Теория вероятностей

Tofik135

1

145

15 дек 2020, 09:23

Случайная величина X задана плотностью распределения

в форуме Теория вероятностей

belke

2

244

14 окт 2021, 11:08

Матожидание непрерывной СВ с плотностью, содержащей модуль

в форуме Теория вероятностей

xlink

3

237

23 авг 2017, 21:54

Показать, что функция является плотностью вероятности

в форуме Теория вероятностей

Andryhich

5

494

10 апр 2016, 23:25


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved