Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| number_one |
|
|
|
[math]\int\limits_0^1\dfrac{\ln(1-a^2x^2)}{\sqrt{1-x^2}}dx\quad\quad |a|\le 1[/math] Получается, что вот эти условия нарушаются, а интеграл сходится? (см ниже в Демидовиче) ![]() У нас ведь [math]\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{-2ax^2}{(1-a^2x^2)\sqrt{1-x^2}}=\infty[/math] Исследуем равномерную сходимость производной. (хотя какой смысл, если другие условия нарушаются) [math]I'(a)=\int\limits_0^1\dfrac{-2ax^2}{(1-a^2x^2)\sqrt{1-x^2}}\;dx=\int\limits_0^{0,5}\dfrac{-2ax^2}{(1-a^2x^2)\sqrt{1-x^2}}\;dx+\int\limits_{0,5}^1\dfrac{-2ax^2}{(1-a^2x^2)\sqrt{1-x^2}}\;dx[/math] При [math]|a|<1[/math] получается так: [math]\Bigg|\dfrac{-2ax^2}{(1-a^2x^2)\sqrt{1-x^2}}\Bigg|=\Bigg|\dfrac{2}{(1-ax)\cdot 2\cdot \sqrt{1-x^2}}\Bigg|=\Bigg|\dfrac{1}{(1-ax) \sqrt{2(1-x)}}\Bigg|\leqslant \Bigg|\dfrac{1}{(1-a) \sqrt{2(1-x)}}\Bigg|[/math] А как дальше? Знаю, что интеграл [math]\int\limits_0^1 \dfrac{dx}{\sqrt{1-x}}[/math] сходится. Но по критерию Вейерштрасса у нас мажоранта не должна зависеть от параметра. А что будет при [math]a=\pm 1[/math]? Как доказать, что равномерной сходимости не будет или будет? |
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
number_one писал(а): Получается, что вот эти условия нарушаются, а интеграл сходится? (см ниже в Демидовиче) Это условия для собственного интеграла. Для несобственного интеграла с особенностью в [math]A[/math] непрерывность должна выполняться на множестве [math]\{a\leqslant x<A;b\leqslant y\leqslant B\}[/math]. Интеграл от производной не сходится равномерно на [math]\{-1\leqslant a\leqslant1\}[/math], поскольку при [math]a=1[/math] этот интеграл расходится по признаку сравнения с [math]\int\limits_0^1\frac{dx}{(1-x)^{\frac32}}[/math]. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: number_one |
||
| number_one |
|
|
|
Human писал(а): number_one писал(а): Получается, что вот эти условия нарушаются, а интеграл сходится? (см ниже в Демидовиче) Это условия для собственного интеграла. Для несобственного интеграла с особенностью в [math]A[/math] непрерывность должна выполняться на множестве [math]\{a\leqslant x<A;b\leqslant y\leqslant B\}[/math]. Интеграл от производной не сходится равномерно на [math]\{-1\leqslant a\leqslant1\}[/math], поскольку при [math]a=1[/math] этот интеграл расходится по признаку сравнения с [math]\int\limits_0^1\frac{dx}{(1-x)^{\frac32}}[/math]. Хорошо, спасибо. А у нас формула Лейбница тогда не работает, так как не выполняется непрерывность, да? Потому мы не можем дифференцировать по параметру? |
||
| Вернуться к началу | ||
| number_one |
|
|
|
Остался все-таки один момент, который не понятен.
Вот мы проверяем - сходится ли равномерно интеграл от производной по параметру на интервале [math](-1;1)[/math] ( случай [math]a=\pm 1[/math] намеренно исключил ) [math]\Bigg|\dfrac{-2ax^2}{(1-a^2x^2)\sqrt{1-x^2}}\Bigg|\leqslant\Bigg|\dfrac{2}{(1-ax)\cdot 2\cdot \sqrt{1-x^2}}\Bigg|\leqslant \Bigg|\dfrac{1}{(1-ax) \sqrt{2(1-x)}}\Bigg|\leqslant \Bigg|\dfrac{1}{(1-a) \sqrt{2(1-x)}}\Bigg|[/math] Но по критерию Вейерштрасса у нас мажоранта не должна зависеть от параметра, а она зависит. Чем можно ограничить, чтобы мажоранта не зависела от параметра? |
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 4 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Дифференцирование по параметру интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
240 |
10 июн 2021, 14:42 |
|
|
Обобщенная функция, интегрирование по параметру
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
1 |
274 |
20 дек 2022, 13:06 |
|
|
Оценить логарифм, который равен параметру а
в форуме Алгебра |
3 |
178 |
09 ноя 2023, 23:52 |
|
| Дифференцируемость ФКП | 1 |
155 |
10 дек 2020, 22:13 |
|
|
Дифференцируемость ФНП
в форуме Дифференциальное исчисление |
6 |
229 |
12 май 2021, 22:01 |
|
|
Дифференцируемость функции
в форуме Дифференциальное исчисление |
1 |
271 |
26 янв 2016, 06:34 |
|
| Уравения и дифференцируемость | 1 |
230 |
27 сен 2016, 15:04 |
|
|
Исследовать на дифференцируемость
в форуме Ряды |
0 |
306 |
23 дек 2016, 11:56 |
|
|
Дифференцируемость функции
в форуме Дифференциальное исчисление |
1 |
197 |
13 июн 2019, 17:18 |
|
|
Дифференцируемость функций
в форуме Дифференциальное исчисление |
8 |
631 |
07 июл 2015, 18:39 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |