Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Дифференцируемость по параметру
СообщениеДобавлено: 24 дек 2012, 15:31 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
11 янв 2012, 20:54
Сообщений: 71
Cпасибо сказано: 41
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте! Как можно доказать то, что здесь можно вычислить интеграл, применяя дифференцирование по параметру?

[math]\int\limits_0^1\dfrac{\ln(1-a^2x^2)}{\sqrt{1-x^2}}dx\quad\quad |a|\le 1[/math]

Получается, что вот эти условия нарушаются, а интеграл сходится? (см ниже в Демидовиче)

Изображение

У нас ведь [math]\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{-2ax^2}{(1-a^2x^2)\sqrt{1-x^2}}=\infty[/math]

Исследуем равномерную сходимость производной. (хотя какой смысл, если другие условия нарушаются)

[math]I'(a)=\int\limits_0^1\dfrac{-2ax^2}{(1-a^2x^2)\sqrt{1-x^2}}\;dx=\int\limits_0^{0,5}\dfrac{-2ax^2}{(1-a^2x^2)\sqrt{1-x^2}}\;dx+\int\limits_{0,5}^1\dfrac{-2ax^2}{(1-a^2x^2)\sqrt{1-x^2}}\;dx[/math]

При [math]|a|<1[/math] получается так:

[math]\Bigg|\dfrac{-2ax^2}{(1-a^2x^2)\sqrt{1-x^2}}\Bigg|=\Bigg|\dfrac{2}{(1-ax)\cdot 2\cdot \sqrt{1-x^2}}\Bigg|=\Bigg|\dfrac{1}{(1-ax) \sqrt{2(1-x)}}\Bigg|\leqslant \Bigg|\dfrac{1}{(1-a) \sqrt{2(1-x)}}\Bigg|[/math]

А как дальше? Знаю, что интеграл [math]\int\limits_0^1 \dfrac{dx}{\sqrt{1-x}}[/math] сходится.

Но по критерию Вейерштрасса у нас мажоранта не должна зависеть от параметра. А что будет при [math]a=\pm 1[/math]? Как доказать, что равномерной сходимости не будет или будет?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференцируемость по параметру
СообщениеДобавлено: 24 дек 2012, 16:31 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
number_one писал(а):
Получается, что вот эти условия нарушаются, а интеграл сходится? (см ниже в Демидовиче)


Это условия для собственного интеграла. Для несобственного интеграла с особенностью в [math]A[/math] непрерывность должна выполняться на множестве [math]\{a\leqslant x<A;b\leqslant y\leqslant B\}[/math].

Интеграл от производной не сходится равномерно на [math]\{-1\leqslant a\leqslant1\}[/math], поскольку при [math]a=1[/math] этот интеграл расходится по признаку сравнения с [math]\int\limits_0^1\frac{dx}{(1-x)^{\frac32}}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
number_one
 Заголовок сообщения: Re: Дифференцируемость по параметру
СообщениеДобавлено: 24 дек 2012, 18:36 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
11 янв 2012, 20:54
Сообщений: 71
Cпасибо сказано: 41
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
number_one писал(а):
Получается, что вот эти условия нарушаются, а интеграл сходится? (см ниже в Демидовиче)


Это условия для собственного интеграла. Для несобственного интеграла с особенностью в [math]A[/math] непрерывность должна выполняться на множестве [math]\{a\leqslant x<A;b\leqslant y\leqslant B\}[/math].

Интеграл от производной не сходится равномерно на [math]\{-1\leqslant a\leqslant1\}[/math], поскольку при [math]a=1[/math] этот интеграл расходится по признаку сравнения с [math]\int\limits_0^1\frac{dx}{(1-x)^{\frac32}}[/math].


Хорошо, спасибо. А у нас формула Лейбница тогда не работает, так как не выполняется непрерывность, да? Потому мы не можем дифференцировать по параметру?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференцируемость по параметру
СообщениеДобавлено: 25 дек 2012, 11:50 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
11 янв 2012, 20:54
Сообщений: 71
Cпасибо сказано: 41
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Остался все-таки один момент, который не понятен.

Вот мы проверяем - сходится ли равномерно интеграл от производной по параметру на интервале [math](-1;1)[/math] ( случай [math]a=\pm 1[/math] намеренно исключил )

[math]\Bigg|\dfrac{-2ax^2}{(1-a^2x^2)\sqrt{1-x^2}}\Bigg|\leqslant\Bigg|\dfrac{2}{(1-ax)\cdot 2\cdot \sqrt{1-x^2}}\Bigg|\leqslant \Bigg|\dfrac{1}{(1-ax) \sqrt{2(1-x)}}\Bigg|\leqslant \Bigg|\dfrac{1}{(1-a) \sqrt{2(1-x)}}\Bigg|[/math]

Но по критерию Вейерштрасса у нас мажоранта не должна зависеть от параметра, а она зависит. Чем можно ограничить, чтобы мажоранта не зависела от параметра?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Дифференцирование по параметру интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Sykes

2

240

10 июн 2021, 14:42

Обобщенная функция, интегрирование по параметру

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

zulus

1

274

20 дек 2022, 13:06

Оценить логарифм, который равен параметру а

в форуме Алгебра

kovalmary

3

178

09 ноя 2023, 23:52

Дифференцируемость ФКП

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Rxgd

1

155

10 дек 2020, 22:13

Дифференцируемость ФНП

в форуме Дифференциальное исчисление

AGN

6

229

12 май 2021, 22:01

Дифференцируемость функции

в форуме Дифференциальное исчисление

sfanter

1

271

26 янв 2016, 06:34

Уравения и дифференцируемость

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Paloondra

1

230

27 сен 2016, 15:04

Исследовать на дифференцируемость

в форуме Ряды

NatashaBrin

0

306

23 дек 2016, 11:56

Дифференцируемость функции

в форуме Дифференциальное исчисление

kare

1

197

13 июн 2019, 17:18

Дифференцируемость функций

в форуме Дифференциальное исчисление

SWebS

8

631

07 июл 2015, 18:39


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved