Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Интеграл, не сходится с ответом(
СообщениеДобавлено: 23 дек 2012, 03:20 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 сен 2012, 14:21
Сообщений: 27
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите, плиз, с таким интегралом, с ответом не совпадает.

[math]I(a)=\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{x^2-a^2}{x^2+a^2}\cdot\dfrac{\sin x}{x}\;dx[/math]

Вот попытка:

[math]I(a)=\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{x^2+a^2-2a^2}{x^2+a^2}\cdot\dfrac{\sin x}{x}\;dx=\underbrace{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x}\;dx}_{\operatorname{Dirihle}}-2a^2\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{x^2+a^2}\cdot\dfrac{\sin x}{x}\;dx=\dfrac{\pi}{2}\operatorname{sgn}(a)-2a^2\underbrace{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{x^2+a^2}\cdot\dfrac{\sin x}{x}\;dx}_{I_2(a)}[/math]

[math]I_2(a)=\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{x^2+a^2}\cdot\dfrac{\sin x}{x}\;dx=\Bigg|x=at\Bigg|=\dfrac{1}{a^2}\underbrace{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{t^2+1}\cdot\dfrac{\sin (at)}{t}\;dt}_{I_3(a)}[/math]

[math]{I_3(a)}=\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{t^2+1}\cdot\dfrac{\sin (at)}{t}\;dt[/math]

[math]{I_3'(a)}=a\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{t}{t^2+1}\cdot\dfrac{\cos (at)}{t}\;dt[/math]

[math]{I_3'(a)}=\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{t}{t^2+1}\cdot\dfrac{\cos (at)}{t}\;dt=\dfrac{\pi}{2}e^{-|a|}[/math] (интеграл Лапласа)

[math]I_3(a)=\dfrac{\pi}{2}\displaystyle\int e^{-|a|}da=-\dfrac{\pi}{2}\cdot\operatorname{sgn}(a)e^{-|a|}+C[/math]

[math]I(0)=C=0[/math]

[math]I_3(a)=-\dfrac{\pi}{2}\cdot \operatorname{sgn}(a)e^{-|a|}[/math]

[math]I_2(a)=-\dfrac{\pi}{2}\cdot \dfrac{\operatorname{sgn}(a)e^{-|a|}}{a^2}[/math]

[math]I(a)=\dfrac{\pi}{2}\operatorname{sgn}(a)+2a^2\cdot\dfrac{\pi}{2}\cdot \dfrac{\operatorname{sgn}(a)e^{-|a|}}{a^2}=\dfrac{\pi}{2}\operatorname{sgn}(a)+\pi\cdot \operatorname{sgn}(a)e^{-|a|}[/math]

Но в ответах почему-то [math]\frac{\pi}{2}(e^{-|a|}-1)[/math] + вольфрам подтверждает тот ответ, что в ответах. Так что у меня ошибка. Но найти не могу(

У меня что-то неверно?


Последний раз редактировалось molotok 23 дек 2012, 04:12, всего редактировалось 12 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл, не сходится с ответом(
СообщениеДобавлено: 23 дек 2012, 06:21 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если [math]a\ne 0[/math] то интеграл должен быть таким

[math]\pi (e^{-|a|}-0.5)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл, не сходится с ответом(
СообщениеДобавлено: 23 дек 2012, 12:50 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Во-первых, лишний сигнум в интеграле Дирихле.
Во-вторых, такая замена в интеграле [math]I_2[/math] справедлива лишь при [math]a>0[/math]. Если [math]a<0[/math], то пределы интегрирования будут от [math]0[/math] до [math]-\infty[/math]. В итоге есть зависимость от знака [math]a[/math]. Здесь лучше не делать замену, а сразу ввести параметр под синус ([math]b[/math], например) и дифференцировать по нему.

Но у меня лично получилось то же, что у Avgust'а. Вольфрам тоже такой же ответ выдаёт.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
never-sleep
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл, не сходится с ответом(
СообщениеДобавлено: 23 дек 2012, 15:34 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
15 дек 2011, 22:02
Сообщений: 133
Cпасибо сказано: 92
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Странно, у меня вообще получилось [math]\frac{\pi}{2}(e^{-|a|}+1)[/math]

А почему должен быть минус, когда интеграл Дирихле с плюсом?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл, не сходится с ответом(
СообщениеДобавлено: 23 дек 2012, 16:14 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Из второго интеграла вылезает ещё [math]-\pi[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
number_one
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Интеграл не сходится с ответом

в форуме Интегральное исчисление

holamgadol

0

192

20 дек 2016, 21:42

Неопределенный интеграл с ответом не сходится

в форуме Интегральное исчисление

RETU

7

169

26 сен 2018, 15:05

Решение не сходится с ответом, что не так?

в форуме Механика

makc59

4

324

29 окт 2017, 23:02

Сходится ли интеграл?

в форуме Интегральное исчисление

sfanter

3

298

28 янв 2016, 17:24

Интеграл сходится или нет

в форуме Интегральное исчисление

CBETAV

7

374

13 янв 2015, 23:02

При каких a сходится интеграл?

в форуме Интегральное исчисление

crazymadman18

7

345

21 июн 2017, 21:50

При каких a сходится интеграл

в форуме Интегральное исчисление

murza

9

515

18 окт 2017, 15:04

Доказать, что интеграл сходится

в форуме Интегральное исчисление

Jugalator

7

298

03 июн 2018, 19:07

При каких a сходится интеграл

в форуме Интегральное исчисление

murza

1

199

17 окт 2017, 21:11

Определить при каких a сходится интеграл

в форуме Интегральное исчисление

murza

0

178

17 окт 2017, 20:00


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 33


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved