Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 5 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
molotok |
|
||
[math]I(a)=\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{x^2-a^2}{x^2+a^2}\cdot\dfrac{\sin x}{x}\;dx[/math] Вот попытка: [math]I(a)=\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{x^2+a^2-2a^2}{x^2+a^2}\cdot\dfrac{\sin x}{x}\;dx=\underbrace{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x}\;dx}_{\operatorname{Dirihle}}-2a^2\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{x^2+a^2}\cdot\dfrac{\sin x}{x}\;dx=\dfrac{\pi}{2}\operatorname{sgn}(a)-2a^2\underbrace{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{x^2+a^2}\cdot\dfrac{\sin x}{x}\;dx}_{I_2(a)}[/math] [math]I_2(a)=\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{x^2+a^2}\cdot\dfrac{\sin x}{x}\;dx=\Bigg|x=at\Bigg|=\dfrac{1}{a^2}\underbrace{\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{t^2+1}\cdot\dfrac{\sin (at)}{t}\;dt}_{I_3(a)}[/math] [math]{I_3(a)}=\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{t^2+1}\cdot\dfrac{\sin (at)}{t}\;dt[/math] [math]{I_3'(a)}=a\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{t}{t^2+1}\cdot\dfrac{\cos (at)}{t}\;dt[/math] [math]{I_3'(a)}=\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{t}{t^2+1}\cdot\dfrac{\cos (at)}{t}\;dt=\dfrac{\pi}{2}e^{-|a|}[/math] (интеграл Лапласа) [math]I_3(a)=\dfrac{\pi}{2}\displaystyle\int e^{-|a|}da=-\dfrac{\pi}{2}\cdot\operatorname{sgn}(a)e^{-|a|}+C[/math] [math]I(0)=C=0[/math] [math]I_3(a)=-\dfrac{\pi}{2}\cdot \operatorname{sgn}(a)e^{-|a|}[/math] [math]I_2(a)=-\dfrac{\pi}{2}\cdot \dfrac{\operatorname{sgn}(a)e^{-|a|}}{a^2}[/math] [math]I(a)=\dfrac{\pi}{2}\operatorname{sgn}(a)+2a^2\cdot\dfrac{\pi}{2}\cdot \dfrac{\operatorname{sgn}(a)e^{-|a|}}{a^2}=\dfrac{\pi}{2}\operatorname{sgn}(a)+\pi\cdot \operatorname{sgn}(a)e^{-|a|}[/math] Но в ответах почему-то [math]\frac{\pi}{2}(e^{-|a|}-1)[/math] + вольфрам подтверждает тот ответ, что в ответах. Так что у меня ошибка. Но найти не могу( У меня что-то неверно? Последний раз редактировалось molotok 23 дек 2012, 04:12, всего редактировалось 12 раз(а). |
|||
Вернуться к началу | |||
Avgust |
|
||
Если [math]a\ne 0[/math] то интеграл должен быть таким
[math]\pi (e^{-|a|}-0.5)[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
Human |
|
||
Во-первых, лишний сигнум в интеграле Дирихле.
Во-вторых, такая замена в интеграле [math]I_2[/math] справедлива лишь при [math]a>0[/math]. Если [math]a<0[/math], то пределы интегрирования будут от [math]0[/math] до [math]-\infty[/math]. В итоге есть зависимость от знака [math]a[/math]. Здесь лучше не делать замену, а сразу ввести параметр под синус ([math]b[/math], например) и дифференцировать по нему. Но у меня лично получилось то же, что у Avgust'а. Вольфрам тоже такой же ответ выдаёт. |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: never-sleep |
|||
never-sleep |
|
||
Странно, у меня вообще получилось [math]\frac{\pi}{2}(e^{-|a|}+1)[/math]
А почему должен быть минус, когда интеграл Дирихле с плюсом? |
|||
Вернуться к началу | |||
Human |
|
||
Из второго интеграла вылезает ещё [math]-\pi[/math].
|
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: number_one |
|||
[ Сообщений: 5 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Интеграл не сходится с ответом
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
192 |
20 дек 2016, 21:42 |
|
Неопределенный интеграл с ответом не сходится
в форуме Интегральное исчисление |
7 |
169 |
26 сен 2018, 15:05 |
|
Решение не сходится с ответом, что не так?
в форуме Механика |
4 |
324 |
29 окт 2017, 23:02 |
|
Сходится ли интеграл?
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
298 |
28 янв 2016, 17:24 |
|
Интеграл сходится или нет
в форуме Интегральное исчисление |
7 |
374 |
13 янв 2015, 23:02 |
|
При каких a сходится интеграл?
в форуме Интегральное исчисление |
7 |
345 |
21 июн 2017, 21:50 |
|
При каких a сходится интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
9 |
515 |
18 окт 2017, 15:04 |
|
Доказать, что интеграл сходится
в форуме Интегральное исчисление |
7 |
298 |
03 июн 2018, 19:07 |
|
При каких a сходится интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
199 |
17 окт 2017, 21:11 |
|
Определить при каких a сходится интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
178 |
17 окт 2017, 20:00 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 33 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |