Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Обьем тела
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=20619
Страница 1 из 1

Автор:  vasil [ 18 дек 2012, 22:36 ]
Заголовок сообщения:  Обьем тела

Здравствуйте! Не могли бы помочь, пожалуйста, с заданием: найдите объем тела Т ограничено заданными поверхностями. Тяжело представить фигуру(это вроде бы две сферы одна меньше другой и центр смещен на 2*sqrt(3) я правильно понимаю) а какие пределы интегрирования у этой штуковины должны быть?
Заранее спасибо за помощь!

Вложения:
II.png
II.png [ 24.39 Кб | Просмотров: 24 ]

Автор:  Prokop [ 19 дек 2012, 17:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Обьем тела

Здесь две сферы, большая радиусом 3 и малая радиусом [math]\sqrt 3[/math]. Из условия задачи выводим, что надо вычислить объём между этими сферами, расположенный в первом и четвёртом октантах ([math]z \ge 0[/math], [math]x \ge 0[/math]. Часть малой сферы выходит за большую сферу. Поэтому вычислим объём [math]v[/math] этой части малой сферы.
Это лучше сделать в сферических координатах
[math]\begin{array}{l}v = \int\limits_0^{\pi |6}{\sin \theta d\theta}\int\limits_0^{2\pi}{d\phi}\int\limits_3^{2\sqrt 3 \cos \theta}{r^2 dr}= \frac{{2\pi}}{3}\int\limits_0^{\pi |6}{\sin \theta \left({24\sqrt 3 \cos ^3 \theta - 27}\right)d\theta}= \\ = - \frac{{2\pi}}{3}\int\limits_0^{\pi |6}{\left({24\sqrt 3 \cos ^3 \theta - 27}\right)d\cos \theta}= ... \\ \end{array}[/math]
Объём большого шара [math]V_l = \frac{{4\pi}}{3}3^3[/math], малого [math]V_s = \frac{{4\pi}}{3}\left({\sqrt 3}\right)^3[/math]
Поэтому ответ, в силу условия задачи, можно записать так
[math]\frac{1}{2}\left({\frac{1}{2}V_l - V_s + v}\right)[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/