Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычислить площадь
СообщениеДобавлено: 16 дек 2012, 17:12 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 дек 2011, 14:05
Сообщений: 39
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Уважаемы форумчане, помогите, пожалуйста, определить области интегрирования для площади каждого кусочка фигуры!
[math]\iint\limits_{S}x(y+z)dxdy+y^{2}dzdx[/math]
[math]x^{2}+y^{2}\leqslant 2x[/math], [math]0 \leqslant z \leqslant 1-x[/math]

Получилась следующая поверхность:
Вложение:
.png
.png [ 9.01 Кб | Просмотров: 300 ]

Пусть S1 -основание - красная, S2 - боковая - желтая, S3 - сечение плоскостью - штриховка.

Я составила для D1:[math]\left\{\!\begin{aligned}& 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ & z=0 \\ & -\sqrt{1-(x-1)^{2}}\leqslant y \leqslant \sqrt{1-(x-1)^{2}}\end{aligned}\right.[/math]
Правильно ли это? а то при подстановке в данный интеграл получается ноль...

А для D2 и D3 запуталась
Помогите, пожалуйста, с определением областей интегрирования!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить площадь
СообщениеДобавлено: 16 дек 2012, 17:43 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А формулой Гаусса-Остроградского что ли нельзя пользоваться?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить площадь
СообщениеДобавлено: 16 дек 2012, 18:23 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 дек 2011, 14:05
Сообщений: 39
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human
нет, преподаватель сказал, что без Гаусса-Остроградского:(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить площадь
СообщениеДобавлено: 16 дек 2012, 19:11 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для параметризации поверхности цилиндра можно перейти к следующим координатам, получающимся смещением из цилиндрических:

[math]x=1+\cos\varphi,\ y=\sin\varphi,\ z=h,\ 0\leqslant\varphi<2\pi[/math]

Тогда в этих координатах цилиндр превращается в бесконечную полоску шириной [math]2\pi[/math]. Судя по графику в исходных координатах, нас интересует только часть полоски, где [math]0<h<1,\ \frac{\pi}2<\varphi<\frac{3\pi}2[/math]. Пересечение цилиндра с плоскостью [math]z=1-x[/math] задаётся уравнением [math]h=-\cos\varphi[/math]. Отсюда получаем границы: [math]\frac{\pi}2<\varphi<\frac{3\pi}2,\ 0<h<-\cos\varphi[/math]. Далее нужно по известным формулам перейти от поверхностного интеграла второго рода к кратному интегралу по выписанной мною области.

Ну а плоскость [math]z=1-x[/math] параметризуется стандартным образом, например

[math]x=u,\ y=v,\ z=1-u[/math]

Пределы также очевидны: [math]0<u<1,\ -\sqrt{2u-u^2}<v<\sqrt{2u-u^2}[/math]. Затем снова переходим к кратному интегралу.

По формуле Гаусса-Остроградского было бы несравненно проще.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить площадь
СообщениеДобавлено: 16 дек 2012, 21:57 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 дек 2011, 14:05
Сообщений: 39
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Извините, я никак не могу перейти к кратным интегралам:(
Подскажите, пожалуйста, правильно ли я это делаю для основания:
[math]\iint\limits_{Sxoy}xydxdy=\int\limits_{\pi|2}^{3 \pi |2}d \varphi \int\limits_{0}^{-cos \varphi}h^{2}(1+cos \varphi )sin\varphi dh[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить площадь
СообщениеДобавлено: 17 дек 2012, 11:10 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
kiss_of_life писал(а):
Извините, я никак не могу перейти к кратным интегралам:(
Подскажите, пожалуйста, правильно ли я это делаю для основания:
[math]\iint\limits_{Sxoy}xydxdy=\int\limits_{\pi|2}^{3 \pi |2}d \varphi \int\limits_{0}^{-cos \varphi}h^{2}(1+cos \varphi )sin\varphi dh[/math]


Не понял... Зачем Вы для основания используете цилиндрические координаты? Они нужны для параметризации боковой части цилиндра.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычислить площадь

в форуме Интегральное исчисление

makc2299

3

602

12 сен 2019, 22:26

Вычислить площадь

в форуме Интегральное исчисление

youi

4

537

08 окт 2016, 14:13

Вычислить площадь

в форуме Интегральное исчисление

photographer

2

317

08 май 2015, 18:02

Вычислить площадь фигуры

в форуме Интегральное исчисление

zdanek

4

480

10 май 2018, 12:32

Вычислить площадь фигуры

в форуме Интегральное исчисление

Vital_Orsha

11

867

15 апр 2018, 14:00

Вычислить площадь фигуры

в форуме Интегральное исчисление

cincinat

1

252

23 фев 2016, 19:03

Вычислить площадь фигуры

в форуме Интегральное исчисление

351w

5

436

11 апр 2018, 07:20

Вычислить площадь фигуры

в форуме Интегральное исчисление

Adel2015

40

1804

11 апр 2016, 16:43

Вычислить площадь фигуры

в форуме Интегральное исчисление

Adel2015

3

334

11 апр 2016, 16:49

Вычислить площадь фигуры

в форуме Интегральное исчисление

mike tyson

1

248

07 июн 2015, 14:13


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved