Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 3 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
jagdish |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
[math]I(k) = \int_{0}^{\infty}\frac{\ln(x)}{x^2+kx+k^2}=\frac{2\pi \ln(k)}{3 \sqrt{3}\, k}[/math]
[math]k \cdot I(k)-I(1)=\frac{2\pi }{3 \sqrt{3}}\ln(k)[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: jagdish |
||
jagdish |
|
|
Thanks Avgust Got it.
[math]\bf{\mathbb{I(\bold{k})}=\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(x)}{x^2+kx+k^2}dx.................(1)}[/math] Put [math]\bf{x=kt\Leftrightarrow dx = kdt}[/math] and Changing Limits, We Get [math]\bf{\mathbb{I(\bold{k})}=\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(kt).kdt}{k^2(t^2+t+1)}dt}[/math] [math]\bf{\mathbb{\bold{k}.I(\bold{k})}=\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(k)}{t^2+t+1}dt+\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(t)}{t^2+t+1}dt}[/math] [math]\bf{\mathbb{\bold{k}.I(\bold{k})}=\ln(k).\int_{0}^{\infty}\frac{1}{t^2+t+1}dt+\mathbb{I(\bold{1})}}[/math] Using eqation [math]\bf{(1)\;\;,}[/math] Put [math]\bf{k=1}[/math] in eqn...[math]\bf{(1)}[/math] We Get [math]\bf{I(\bold{1})=\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(x)}{x^2+x+1}=\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(t)}{t^2+t+1}\right)}[/math] So [math]\bf{\mathbb{\bold{k}.I(\bold{k})}-I(1)=\bf{\ln(k)\int_{0}^{\infy}\frac{1}{t^2+t+1}dt}}[/math] [math]\bf{=\ln(k)\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}dt=\ln(k).\frac{2}{\sqrt{3}}.\tan^{-1}\left(\frac{2t+1}{\sqrt{3}}\right)\bigg|_{0}^{\frac{\infty}}}[/math] [math]\bf{=\ln(k).\frac{2}{\sqrt{3}}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\ln(k).\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}}[/math] So [math]\boxed{\boxed{\bf{\mathbb{\bold{k}.I(\bold{k})}-I(\bold{1})=\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}.ln(k)}}}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 3 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Интегралы
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
189 |
08 июн 2015, 12:09 |
|
Интегралы
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
246 |
18 янв 2018, 02:01 |
|
2-ые, 3-ые интегралы
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
422 |
26 май 2015, 21:22 |
|
Интегралы
в форуме Объявления участников Форума |
0 |
293 |
02 июн 2016, 11:01 |
|
Интегралы
в форуме Интегральное исчисление |
4 |
171 |
25 дек 2017, 18:55 |
|
Интегралы
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
200 |
26 мар 2015, 17:09 |
|
Интегралы
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
163 |
10 дек 2017, 17:55 |
|
Интегралы | 5 |
211 |
11 ноя 2017, 16:26 |
|
Интегралы
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
272 |
06 июн 2016, 14:56 |
|
Интегралы
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
303 |
05 мар 2015, 19:55 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |