Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Интегралы
СообщениеДобавлено: 14 дек 2012, 22:41 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
12 дек 2010, 20:32
Сообщений: 544
Cпасибо сказано: 306
Спасибо получено:
28 раз в 23 сообщениях
Очков репутации: 7

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
If [math]I(k) = \int_{0}^{\infty}\frac{\ln(x)}{x^2+kx+k^2}.[/math] Then [math]kI(k)-I(1) =[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интегралы
СообщениеДобавлено: 14 дек 2012, 23:36 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]I(k) = \int_{0}^{\infty}\frac{\ln(x)}{x^2+kx+k^2}=\frac{2\pi \ln(k)}{3 \sqrt{3}\, k}[/math]

[math]k \cdot I(k)-I(1)=\frac{2\pi }{3 \sqrt{3}}\ln(k)[/math]

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
jagdish
 Заголовок сообщения: Re: Интегралы
СообщениеДобавлено: 15 дек 2012, 06:23 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
12 дек 2010, 20:32
Сообщений: 544
Cпасибо сказано: 306
Спасибо получено:
28 раз в 23 сообщениях
Очков репутации: 7

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Thanks Avgust Got it.

[math]\bf{\mathbb{I(\bold{k})}=\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(x)}{x^2+kx+k^2}dx.................(1)}[/math]

Put [math]\bf{x=kt\Leftrightarrow dx = kdt}[/math] and Changing Limits, We Get

[math]\bf{\mathbb{I(\bold{k})}=\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(kt).kdt}{k^2(t^2+t+1)}dt}[/math]

[math]\bf{\mathbb{\bold{k}.I(\bold{k})}=\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(k)}{t^2+t+1}dt+\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(t)}{t^2+t+1}dt}[/math]

[math]\bf{\mathbb{\bold{k}.I(\bold{k})}=\ln(k).\int_{0}^{\infty}\frac{1}{t^2+t+1}dt+\mathbb{I(\bold{1})}}[/math]

Using eqation [math]\bf{(1)\;\;,}[/math] Put [math]\bf{k=1}[/math] in eqn...[math]\bf{(1)}[/math]

We Get [math]\bf{I(\bold{1})=\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(x)}{x^2+x+1}=\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(t)}{t^2+t+1}\right)}[/math]

So [math]\bf{\mathbb{\bold{k}.I(\bold{k})}-I(1)=\bf{\ln(k)\int_{0}^{\infy}\frac{1}{t^2+t+1}dt}}[/math]

[math]\bf{=\ln(k)\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}dt=\ln(k).\frac{2}{\sqrt{3}}.\tan^{-1}\left(\frac{2t+1}{\sqrt{3}}\right)\bigg|_{0}^{\frac{\infty}}}[/math]

[math]\bf{=\ln(k).\frac{2}{\sqrt{3}}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\ln(k).\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}}[/math]

So [math]\boxed{\boxed{\bf{\mathbb{\bold{k}.I(\bold{k})}-I(\bold{1})=\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}.ln(k)}}}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Интегралы

в форуме Интегральное исчисление

Ekaterina5

1

189

08 июн 2015, 12:09

Интегралы

в форуме Интегральное исчисление

Ravil

1

246

18 янв 2018, 02:01

2-ые, 3-ые интегралы

в форуме Интегральное исчисление

Zefir

1

422

26 май 2015, 21:22

Интегралы

в форуме Объявления участников Форума

Fit11

0

293

02 июн 2016, 11:01

Интегралы

в форуме Интегральное исчисление

Sigma

4

171

25 дек 2017, 18:55

Интегралы

в форуме Интегральное исчисление

Zed

2

200

26 мар 2015, 17:09

Интегралы

в форуме Интегральное исчисление

Sigma

2

163

10 дек 2017, 17:55

Интегралы

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

drago123

5

211

11 ноя 2017, 16:26

Интегралы

в форуме Интегральное исчисление

ligarz

1

272

06 июн 2016, 14:56

Интегралы

в форуме Интегральное исчисление

olga_budilova

1

303

05 мар 2015, 19:55


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved