Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Равномерная сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 05 дек 2012, 18:32 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 дек 2011, 14:05
Сообщений: 39
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Уважаемые форумчане, помогите, пожалуйста, с решением!
Необходимо проверить на равномерную сходимость

[math]\int\limits_{0}^{ \infty } \frac{ x^{p} }{ \sqrt{e^{x}-1}} dx[/math] , [math]p \geqslant 0[/math]

Подскажите, пожалуйста, что с этим делать?
Буду признательна за любую помощь:)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Равномерная сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 05 дек 2012, 19:59 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Этот интеграл расходится при всех [math]p\geqslant0[/math] по предельному признаку сравнения, а значит и подавно не сходится равномерно.

Edit: Прошу прощения, ошибся. Сходится он.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
kiss_of_life
 Заголовок сообщения: Re: Равномерная сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 05 дек 2012, 20:51 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 дек 2011, 14:05
Сообщений: 39
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human
Да, он сходится. Но вот как проверить равномерно или нет...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Равномерная сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 05 дек 2012, 22:02 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У меня получилось, что равномерной сходимости в окрестности бесконечности не наблюдается. Проверьте.

Пусть [math]\eta>1[/math], [math]p>1[/math]. Тогда

[math]\int\limits_{\eta}^{+\infty}\frac{x^p}{\sqrt{e^x-1}}\,dx>\int\limits_{\eta}^{+\infty}\frac{x^p}{\sqrt{e^x}}\,dx>\int\limits_{\eta}^{+\infty}x^pe^{-x}\,dx=\left.(-x^pe^{-x})\right|_{\eta}^{+\infty}+p\int\limits_{\eta}^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}\,dx>\eta^pe^{-\eta}[/math]

Отсюда видим, что каким бы ни было большим [math]\eta[/math] всегда найдётся достаточно большое [math]p[/math], что, например, [math]\eta^pe^{-\eta}>1[/math]. Значит интеграл не сходится равномерно по определению.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
kiss_of_life, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Равномерная сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 05 дек 2012, 22:04 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6807
Cпасибо сказано: 189
Спасибо получено:
1144 раз в 1072 сообщениях
Очков репутации: 65

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Очевидно ж что сходимость неравномерная, какой хвост не возьмешь его можно сделать большим за счет выбора p

не успел)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю MihailM "Спасибо" сказали:
kiss_of_life, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Равномерная сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 10 дек 2012, 13:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 дек 2011, 14:05
Сообщений: 39
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо большое за помощь! :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Равномерная сходимость несобственного интеграла с параметром

в форуме Интегральное исчисление

Valentin0000

8

442

24 май 2016, 13:01

Равномерная сходимость

в форуме Ряды

tanyhaftv

9

393

06 июн 2020, 20:41

Равномерная сходимость

в форуме Ряды

khammisha

4

545

15 дек 2017, 13:38

Равномерная сходимость

в форуме Ряды

petkosser

0

405

12 дек 2015, 16:18

Равномерная сходимость ряда

в форуме Ряды

Gargantua

2

433

17 ноя 2015, 11:54

Равномерная сходимость ряда

в форуме Ряды

calabi

18

428

01 июн 2022, 14:50

Равномерная сходимость по Вейерштрассу

в форуме Ряды

soverway

5

238

22 ноя 2019, 14:32

Равномерная сходимость ряда

в форуме Ряды

Viki4

28

836

20 апр 2023, 20:23

Равномерная сходимость несобственного

в форуме Интегральное исчисление

tanyhaftv

1

229

02 апр 2018, 00:18

Равномерная сходимость последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Ylia13

4

334

22 янв 2018, 16:44


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved