Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
dollemika |
|
|
[math]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{-2\sin^2 x}{1-a^2\sin^2 x}\,{dx}[/math] Конечно, не прошу решать его за меня, но хотя бы подскажите, в каком направлении двигаться, каким методом решения воспользоваться, а то у меня с интегралами совсем плохо. |a|<1 |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
В принципе, этот интеграл можно посчитать честно. Введём замену [math]t=\operatorname{ctg}x[/math] и воспользуемся равенством [math]1+\operatorname{ctg}^2x=\frac1{\sin^2x}[/math]. Тогда он сведётся к
[math]-2\int\limits_0^{+\infty}\frac{dt}{(1-a^2+t^2)(1+t^2)}[/math] Если [math]a\ne0[/math], то [math]\frac1{(1-a^2+t^2)(1+t^2)}=\frac1{a^2(1-a^2+t^2)}-\frac1{a^2(1+t^2)}[/math] и значит [math]-2\int\limits_0^{+\infty}\frac{dt}{(1-a^2+t^2)(1+t^2)}=-2\left.\left(\frac1{a^2\sqrt{1-a^2}}\operatorname{arctg}\frac t{\sqrt{1-a^2}}-\frac1{a^2}\operatorname{arctg}t\right)\right|^{+\infty}_0=\frac{\pi}{a^2}-\frac{\pi}{a^2\sqrt{1-a^2}}=-\frac{\pi}{1-a^2+\sqrt{1-a^2}}[/math] Ну, а в случае [math]a=0[/math], думаю, Вы и сами посчитаете (легче брать исходный интеграл). |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: dollemika |
||
dollemika |
|
|
Human, спасибо Вам огромное! Да, думаю с a=0 справлюсь)) Можно еще вопрос, у меня изначально задание, "найти интеграл с параметром, с помощью дифференцирования", т.е. этот интеграл - это dF(x,a)/da, а надо найти F(x,a) (что изначально равняется интегралу от логарифма..) ну так вот, теперь мне, для нахождения F, нужно взять интеграл от ответа по а? Или я что-то не то думаю?
|
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
dollemika писал(а): Можно еще вопрос, у меня изначально задание, "найти интеграл с параметром, с помощью дифференцирования", т.е. этот интеграл - это dF(x,a)/da, а надо найти F(x,a) Напишите задание полностью, а то я пока не могу понять, в чём дело. |
||
Вернуться к началу | ||
dollemika |
|
|
F(x,a) = интеграл от f. Задание - найти F с помощью дифференцирования. Я использовала формулу F'(x,a) = интеграл от производной ф-ии f, т.е. теперь мы знаем F'(x,a). Для нахождения F(x,a) возьмем интеграл по a от того, что получили? Вроде бы так)
|
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
dollemika писал(а): F(x,a) = интеграл от f. Интеграл по какой переменной, в каких пределах и почему [math]F[/math] зависит от [math]x[/math]? Напишите уже полностью исходное задание вместе с исходным интегралом. |
||
Вернуться к началу | ||
dollemika |
|
|
[math]F(a) = \int\limits_{0}^{\frac{pi}{2}}{\ln {\frac{1-a \sin x}{1+a \sin x}} \sin x}{dx}, |a|<1.[/math] Задание - найти F(a).
P.S. извиняюсь за неточности в предыдущих сообщениях |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
Так, теперь всё ясно. Тогда да, нужно теперь полученное выше выражение проинтегрировать по [math]a[/math]. Не забудьте про константу интегрирования.
По-хорошему, нужно ещё проверить, что подынтегральная функция и её частная производная по [math]a[/math] непрерывны в каждом прямоугольнике [math]\left[0;\frac{\pi}2\right]\times[-1+\varepsilon;1-\varepsilon][/math], чтобы можно было пользоваться теоремой о дифференцировании интеграла с параметром, но это вроде и так очевидно из элементарности функций. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: dollemika |
||
dollemika |
|
|
Спасибо за помощь!
|
||
Вернуться к началу | ||
dollemika |
|
|
Human
Скажите пожалуйста, а при интегрировании по a, какие пределы интегрирования я должна взять? От -1 до 1? |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 26 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |