Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Решить интеграл с параметром
СообщениеДобавлено: 03 дек 2012, 21:54 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 22:55
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Уважаемые форумчане, помогите, пожалуйста, решить такой интеграл:

[math]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{-2\sin^2 x}{1-a^2\sin^2 x}\,{dx}[/math]

Конечно, не прошу решать его за меня, но хотя бы подскажите, в каком направлении двигаться, каким методом решения воспользоваться, а то у меня с интегралами совсем плохо. :(
|a|<1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить интеграл с параметром
СообщениеДобавлено: 04 дек 2012, 01:11 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 4067
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1793 раз в 1495 сообщениях
Очков репутации: 373

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В принципе, этот интеграл можно посчитать честно. Введём замену [math]t=\operatorname{ctg}x[/math] и воспользуемся равенством [math]1+\operatorname{ctg}^2x=\frac1{\sin^2x}[/math]. Тогда он сведётся к

[math]-2\int\limits_0^{+\infty}\frac{dt}{(1-a^2+t^2)(1+t^2)}[/math]

Если [math]a\ne0[/math], то

[math]\frac1{(1-a^2+t^2)(1+t^2)}=\frac1{a^2(1-a^2+t^2)}-\frac1{a^2(1+t^2)}[/math]

и значит

[math]-2\int\limits_0^{+\infty}\frac{dt}{(1-a^2+t^2)(1+t^2)}=-2\left.\left(\frac1{a^2\sqrt{1-a^2}}\operatorname{arctg}\frac t{\sqrt{1-a^2}}-\frac1{a^2}\operatorname{arctg}t\right)\right|^{+\infty}_0=\frac{\pi}{a^2}-\frac{\pi}{a^2\sqrt{1-a^2}}=-\frac{\pi}{1-a^2+\sqrt{1-a^2}}[/math]

Ну, а в случае [math]a=0[/math], думаю, Вы и сами посчитаете (легче брать исходный интеграл).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
dollemika
 Заголовок сообщения: Re: Решить интеграл с параметром
СообщениеДобавлено: 04 дек 2012, 02:06 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 22:55
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human, спасибо Вам огромное! :) Да, думаю с a=0 справлюсь)) Можно еще вопрос, у меня изначально задание, "найти интеграл с параметром, с помощью дифференцирования", т.е. этот интеграл - это dF(x,a)/da, а надо найти F(x,a) (что изначально равняется интегралу от логарифма..) ну так вот, теперь мне, для нахождения F, нужно взять интеграл от ответа по а? Или я что-то не то думаю? :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить интеграл с параметром
СообщениеДобавлено: 04 дек 2012, 02:20 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 4067
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1793 раз в 1495 сообщениях
Очков репутации: 373

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dollemika писал(а):
Можно еще вопрос, у меня изначально задание, "найти интеграл с параметром, с помощью дифференцирования", т.е. этот интеграл - это dF(x,a)/da, а надо найти F(x,a)


Напишите задание полностью, а то я пока не могу понять, в чём дело.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить интеграл с параметром
СообщениеДобавлено: 04 дек 2012, 02:25 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 22:55
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
F(x,a) = интеграл от f. Задание - найти F с помощью дифференцирования. Я использовала формулу F'(x,a) = интеграл от производной ф-ии f, т.е. теперь мы знаем F'(x,a). Для нахождения F(x,a) возьмем интеграл по a от того, что получили? Вроде бы так)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить интеграл с параметром
СообщениеДобавлено: 04 дек 2012, 02:33 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 4067
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1793 раз в 1495 сообщениях
Очков репутации: 373

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dollemika писал(а):
F(x,a) = интеграл от f.


Интеграл по какой переменной, в каких пределах и почему [math]F[/math] зависит от [math]x[/math]?

Напишите уже полностью исходное задание вместе с исходным интегралом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить интеграл с параметром
СообщениеДобавлено: 04 дек 2012, 02:41 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 22:55
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]F(a) = \int\limits_{0}^{\frac{pi}{2}}{\ln {\frac{1-a \sin x}{1+a \sin x}} \sin x}{dx}, |a|<1.[/math] Задание - найти F(a).
P.S. извиняюсь за неточности в предыдущих сообщениях :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить интеграл с параметром
СообщениеДобавлено: 04 дек 2012, 02:53 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 4067
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1793 раз в 1495 сообщениях
Очков репутации: 373

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Так, теперь всё ясно. Тогда да, нужно теперь полученное выше выражение проинтегрировать по [math]a[/math]. Не забудьте про константу интегрирования.

По-хорошему, нужно ещё проверить, что подынтегральная функция и её частная производная по [math]a[/math] непрерывны в каждом прямоугольнике [math]\left[0;\frac{\pi}2\right]\times[-1+\varepsilon;1-\varepsilon][/math], чтобы можно было пользоваться теоремой о дифференцировании интеграла с параметром, но это вроде и так очевидно из элементарности функций.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
dollemika
 Заголовок сообщения: Re: Решить интеграл с параметром
СообщениеДобавлено: 04 дек 2012, 11:47 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 22:55
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо за помощь! :good:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить интеграл с параметром
СообщениеДобавлено: 04 дек 2012, 13:33 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 22:55
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human
Скажите пожалуйста, а при интегрировании по a, какие пределы интегрирования я должна взять? От -1 до 1?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Поверхностный интеграл 1го рода с параметром(не могу решить)

в форуме Интегральное исчисление

masicev

1

154

09 дек 2012, 17:23

C5 ЕГЭ: решить уравнение с параметром

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

chubrick

4

760

02 июн 2013, 16:31

Производная с параметром, не могу решить

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Rina_Taylor

10

674

27 ноя 2014, 17:49

Решить систему уравнений с параметром

в форуме Алгебра

malinka27

2

239

22 янв 2015, 02:46

Интеграл с параметром

в форуме Интегральное исчисление

Mazekin

8

146

08 фев 2018, 22:08

Несобственный интеграл с параметром

в форуме Интегральное исчисление

white95

1

57

20 мар 2018, 15:39

Несобственный интеграл с параметром

в форуме Интегральное исчисление

goldsold

0

204

28 май 2014, 22:45

Вычислить несобственный интеграл с параметром

в форуме Интегральное исчисление

Salasar

3

369

25 май 2016, 16:11

Исследовать интеграл с параметром на сходимость

в форуме Интегральное исчисление

Jhon

9

334

21 дек 2013, 18:42

Несобственный интеграл с параметром: при каких a сходится

в форуме Интегральное исчисление

Silas

9

339

29 май 2012, 22:33


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: FEBUS, Tantan, underline и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved