Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Решить интеграл с параметром
СообщениеДобавлено: 03 дек 2012, 20:54 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 21:55
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Уважаемые форумчане, помогите, пожалуйста, решить такой интеграл:

[math]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{-2\sin^2 x}{1-a^2\sin^2 x}\,{dx}[/math]

Конечно, не прошу решать его за меня, но хотя бы подскажите, в каком направлении двигаться, каким методом решения воспользоваться, а то у меня с интегралами совсем плохо. :(
|a|<1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить интеграл с параметром
СообщениеДобавлено: 04 дек 2012, 00:11 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4080
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1803 раз в 1502 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В принципе, этот интеграл можно посчитать честно. Введём замену [math]t=\operatorname{ctg}x[/math] и воспользуемся равенством [math]1+\operatorname{ctg}^2x=\frac1{\sin^2x}[/math]. Тогда он сведётся к

[math]-2\int\limits_0^{+\infty}\frac{dt}{(1-a^2+t^2)(1+t^2)}[/math]

Если [math]a\ne0[/math], то

[math]\frac1{(1-a^2+t^2)(1+t^2)}=\frac1{a^2(1-a^2+t^2)}-\frac1{a^2(1+t^2)}[/math]

и значит

[math]-2\int\limits_0^{+\infty}\frac{dt}{(1-a^2+t^2)(1+t^2)}=-2\left.\left(\frac1{a^2\sqrt{1-a^2}}\operatorname{arctg}\frac t{\sqrt{1-a^2}}-\frac1{a^2}\operatorname{arctg}t\right)\right|^{+\infty}_0=\frac{\pi}{a^2}-\frac{\pi}{a^2\sqrt{1-a^2}}=-\frac{\pi}{1-a^2+\sqrt{1-a^2}}[/math]

Ну, а в случае [math]a=0[/math], думаю, Вы и сами посчитаете (легче брать исходный интеграл).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
dollemika
 Заголовок сообщения: Re: Решить интеграл с параметром
СообщениеДобавлено: 04 дек 2012, 01:06 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 21:55
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human, спасибо Вам огромное! :) Да, думаю с a=0 справлюсь)) Можно еще вопрос, у меня изначально задание, "найти интеграл с параметром, с помощью дифференцирования", т.е. этот интеграл - это dF(x,a)/da, а надо найти F(x,a) (что изначально равняется интегралу от логарифма..) ну так вот, теперь мне, для нахождения F, нужно взять интеграл от ответа по а? Или я что-то не то думаю? :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить интеграл с параметром
СообщениеДобавлено: 04 дек 2012, 01:20 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4080
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1803 раз в 1502 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dollemika писал(а):
Можно еще вопрос, у меня изначально задание, "найти интеграл с параметром, с помощью дифференцирования", т.е. этот интеграл - это dF(x,a)/da, а надо найти F(x,a)


Напишите задание полностью, а то я пока не могу понять, в чём дело.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить интеграл с параметром
СообщениеДобавлено: 04 дек 2012, 01:25 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 21:55
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
F(x,a) = интеграл от f. Задание - найти F с помощью дифференцирования. Я использовала формулу F'(x,a) = интеграл от производной ф-ии f, т.е. теперь мы знаем F'(x,a). Для нахождения F(x,a) возьмем интеграл по a от того, что получили? Вроде бы так)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить интеграл с параметром
СообщениеДобавлено: 04 дек 2012, 01:33 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4080
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1803 раз в 1502 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dollemika писал(а):
F(x,a) = интеграл от f.


Интеграл по какой переменной, в каких пределах и почему [math]F[/math] зависит от [math]x[/math]?

Напишите уже полностью исходное задание вместе с исходным интегралом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить интеграл с параметром
СообщениеДобавлено: 04 дек 2012, 01:41 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 21:55
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]F(a) = \int\limits_{0}^{\frac{pi}{2}}{\ln {\frac{1-a \sin x}{1+a \sin x}} \sin x}{dx}, |a|<1.[/math] Задание - найти F(a).
P.S. извиняюсь за неточности в предыдущих сообщениях :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить интеграл с параметром
СообщениеДобавлено: 04 дек 2012, 01:53 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4080
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1803 раз в 1502 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Так, теперь всё ясно. Тогда да, нужно теперь полученное выше выражение проинтегрировать по [math]a[/math]. Не забудьте про константу интегрирования.

По-хорошему, нужно ещё проверить, что подынтегральная функция и её частная производная по [math]a[/math] непрерывны в каждом прямоугольнике [math]\left[0;\frac{\pi}2\right]\times[-1+\varepsilon;1-\varepsilon][/math], чтобы можно было пользоваться теоремой о дифференцировании интеграла с параметром, но это вроде и так очевидно из элементарности функций.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
dollemika
 Заголовок сообщения: Re: Решить интеграл с параметром
СообщениеДобавлено: 04 дек 2012, 10:47 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 21:55
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо за помощь! :good:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить интеграл с параметром
СообщениеДобавлено: 04 дек 2012, 12:33 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 21:55
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human
Скажите пожалуйста, а при интегрировании по a, какие пределы интегрирования я должна взять? От -1 до 1?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Поверхностный интеграл 1го рода с параметром(не могу решить)

в форуме Интегральное исчисление

masicev

1

157

09 дек 2012, 16:23

C5 ЕГЭ: решить уравнение с параметром

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

chubrick

4

804

02 июн 2013, 15:31

Решить систему уравнений с параметром

в форуме Алгебра

malinka27

2

259

22 янв 2015, 01:46

Производная с параметром, не могу решить

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Rina_Taylor

10

743

27 ноя 2014, 16:49

Неравенства с параметром, помогите решить....

в форуме Алгебра

Da1monik

7

369

30 дек 2011, 19:21

Нужно решить систему уравнений с параметром...

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

rublyabachka

7

638

13 сен 2011, 22:13

Решить неравенство с параметром в программе Maple

в форуме Maple

mary_yu

3

965

03 апр 2012, 19:03

Решить уравнение с параметром в программе Maple

в форуме Maple

mary_yu

1

706

02 апр 2012, 01:50

Квадратное уравнение с модулем и параметром - как решить

в форуме Алгебра

Nikita

4

1185

21 июн 2010, 15:10

Решить дифф уравнение с параметром операционным методом

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

arturrr

1

431

19 май 2011, 10:16


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved