Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычисление двойного интеграла с заменой переменных
СообщениеДобавлено: 03 дек 2012, 19:15 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 май 2012, 15:57
Сообщений: 29
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вычислить интеграл [math]\int {\int\limits_S {{y^2}} } dxdy[/math] используя замену (полярные координаты) [math]x = ar\cos \varphi ,y = br\sin \varphi[/math], где А и B любые константы. S: [math]x \ge 0;y = \pm \sqrt 3 x;4{x^2} - {y^2} = 4[/math]

посчитать интеграл мне не сложно, про сто с заменой у меня косячно получилось:(

На графике фигура S, только я нарисовала 1-ю четверть, в 4-й четверти все симметрично.
Изображение

Используя теорему пифагора получается что предел [math]d\varphi[/math] равен от нуля до [math]\frac{\pi }{3}[/math](с учетом того что я половину рисунка обрезала, интеграл нужно умножить на два. Если так не хотим, то предел от [math]- \frac{\pi }{3}[/math] до [math]\frac{\pi }{3}[/math])

Вопрос в том, какой предел у переменной R, а также какая там функция получается после замены

Кому не сложно, можно и интеграл посчитать :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычисление двойного интеграла с заменой переменных
СообщениеДобавлено: 04 дек 2012, 13:39 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4080
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1803 раз в 1502 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]x=r\cos\varphi,\ y=2r\sin\varphi[/math]

[math]\operatorname{tg}\varphi=\frac y{2x}=\frac{\sqrt3}2\Rightarrow\varphi=\frac{\pi}6[/math]

[math]0<\varphi<\frac{\pi}6[/math]

[math]4x^2-y^2=4r^2\cos2\varphi=4\Rightarrow r=\frac1{\sqrt{\cos2\varphi}}[/math]

[math]0<r<\frac1{\sqrt{\cos2\varphi}}[/math]

[math]dxdy=2r\,drd\varphi[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Alexdemath, diana_semenova, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Вычисление двойного интеграла с заменой переменных
СообщениеДобавлено: 05 дек 2012, 15:56 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4080
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1803 раз в 1502 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я ошибся, а меня никто не поправляет :D1

[math]\operatorname{tg}\frac{\pi}6\ne\frac{\sqrt 3}2[/math]

То есть будет просто арктангенс.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычисление двойного интеграла с заменой переменных
СообщениеДобавлено: 23 дек 2012, 13:49 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 май 2012, 15:57
Сообщений: 29
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А как в итоге будет выглядеть повторный интеграл?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычисление двойного интеграла с заменой переменных
СообщениеДобавлено: 23 дек 2012, 18:03 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 май 2012, 15:57
Сообщений: 29
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Я ошибся, а меня никто не поправляет :D1

[math]\operatorname{tg}\frac{\pi}6\ne\frac{\sqrt 3}2[/math]

То есть будет просто арктангенс.



А как в итоге будет выглядеть повторный интеграл?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычисление двойного интеграла с заменой переменных
СообщениеДобавлено: 23 дек 2012, 18:10 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19022
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11297
Спасибо получено:
5108 раз в 4615 сообщениях
Очков репутации: 692

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Границы интегрирования вам написали:
[math]0\leq\varphi\leq\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{3}}{2}[/math]

[math]0\leq r\leq\frac{1}{\sqrt{\cos{2\varphi}}}[/math]

Якобиан тоже
[math]2rdrd\varphi[/math]

Вам осталось только подставить [math]y=2r\sin{\varphi}[/math] в подынтегральную функцию и записать интеграл по полученным границам границам с полученным якобианом. Вы за две недели не смогли этого сделать?Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычисление двойного интеграла с заменой переменных
СообщениеДобавлено: 23 дек 2012, 18:26 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 май 2012, 15:57
Сообщений: 29
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math писал(а):
Границы интегрирования вам написали:
[math]0\leq\varphi\leq\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{3}}{2}[/math]

[math]0\leq r\leq\frac{1}{\sqrt{\cos{2\varphi}}}[/math]

Якобиан тоже
[math]2rdrd\varphi[/math]

Вам осталось только подставить [math]y=2r\sin{\varphi}[/math] в подынтегральную функцию и записать интеграл по полученным границам границам с полученным якобианом. Вы за две недели не смогли этого сделать?Изображение


Спасибо, но у меня вопрос. Почему предел r начинается с нуля, а не с единицы. Посмотрите на график.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычисление двойного интеграла с заменой переменных
СообщениеДобавлено: 23 дек 2012, 18:49 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4080
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1803 раз в 1502 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
diana_semenova писал(а):
Почему предел r начинается с нуля, а не с единицы.


Потому что координатные линии для [math]r[/math] в обобщённых полярных координатах представляют собой лучи, выходящие из начала координат. Для данной области они все начинаются с нуля и заканчиваются на гиперболе.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
diana_semenova, mad_math
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычисление двойного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

mirta

4

121

23 май 2016, 01:42

Вычисление двойного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

skwizgard

9

350

02 окт 2011, 10:59

Вычисление двойного интеграла по области D

в форуме Интегральное исчисление

Jelena1988

3

894

17 апр 2010, 02:17

Вычисление двойного интеграла по области d

в форуме Интегральное исчисление

RemZ

1

108

16 сен 2017, 10:55

Вычисление объёма с помощью двойного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

vlad3996

4

492

24 апр 2014, 22:44

Вычисление объема с помощью двойного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

naty

4

214

24 окт 2016, 20:05

Вычисление объемов с помощью двойного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

stupidstudent

1

362

04 июн 2013, 23:52

Вычисление двойного интеграла полярными координатами.

в форуме Интегральное исчисление

LoneR_TLT

2

274

25 май 2011, 15:04

Вычисление двойного интеграла - проверьте, пожалуйста

в форуме Интегральное исчисление

Tanusha

1

435

17 сен 2010, 16:19

Вычисление площади с использованием двойного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

Ryslannn

5

59

24 сен 2018, 09:30


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot] и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved