| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Найти центр тяжести равнобедренного треугольника http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=19288 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | artko [ 11 ноя 2012, 13:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Найти центр тяжести равнобедренного треугольника |
Найти центр тяжести равнобедренного прямоугольного треугольника, если в каждой его точке поверхностная плотность пропорциональна расстоянию до гипотенузы. |
|
| Автор: | Andy [ 11 ноя 2012, 21:44 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти центр тяжести триугольНайти центр тяжести триугольника |
artko Расположим треугольник так, чтобы его гипотенуза приняла горизонтальное положение, а вершина прямого угла расположилась сверху от неё. Поместим начало декартовой прямоугольной системы координат в левую точку гипотенузы, направив ось абсцисс слева направо, а ось ординат снизу вверх. Если длина гипотенузы равна [math]c,[/math] то вершина прямого угла находится в точке [math]\bigg(\frac{c}{2};~\frac{c}{2}\bigg),[/math] а уравнения катетов треугольника суть [math]y=x[/math] и [math]y=c-x.[/math] Расстояние от произвольной точки треугольника до его гипотенузы равно ординате этой точки. Если обозначить коэффициент пропорциональности между плотностью [math]\gamma[/math] треугольника и расстоянием [math]y[/math] от точки треугольника с соответствующей ординатой до гипотенузы через [math]k,[/math] то [math]\gamma=ky.[/math] Треугольник симметричен относительно своей высоты, проведённой из вершины прямого угла, поэтому центр тяжести треугольника расположен на этой высоте, т. е. [math]x_C=\frac{c}{2}.[/math] Найдём ординату [math]y_C[/math] центра тяжести треугольника: 1) найдём статический момент [math]S_x[/math] треугольника относительно оси абсцисс: [math]S_x=\iint\limits_{D}y\gamma(x,~y)dxdy=\int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{ky^2 dy}\int\limits_{y}^{c-y}{dx}=k\int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{y^2\bigg(c-2y \bigg)dy}=k\bigg(c \int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{y^2 dy}-2\int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{y^3 dy} \bigg)=[/math] [math]=k\left.{\bigg(\frac{c}{3}y^3-\frac{1}{2}y^4 \bigg)}\!\right|_{0}^{\frac{c}{2}}=k\bigg(\frac{c^4}{24}-\frac{c^4}{32} \bigg)=\frac{kc^4}{96};[/math] 2) найдём массу [math]m[/math] треугольника: [math]m=\iint\limits_{D}\gamma(x,~y)dxdy=\int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{kydy}\int\limits_{y}^{c-y}{dx}=k\int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{y\bigg(c-2y \bigg)dy}=k\bigg(c \int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{ydy}-2\int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{y^2 dy} \bigg)=[/math] [math]=k\left.{\bigg(\frac{c}{2}y^2-\frac{2}{3}y^3 \bigg)}\!\right|_{0}^{\frac{c}{2}}=k\bigg(\frac{c^3}{8}-\frac{2c^3}{24} \bigg)=\frac{kc^3}{24};[/math] 3) найдём ординату центра тяжести треугольника: [math]y_C=\frac{S_x}{m}=\frac{\frac{kc^4}{96}}{\frac{kc^3}{24}}=\frac{c}{4}.[/math] В итоге получили, что центр тяжести равнобедренного прямоугольного треугольника, поверхностная плотность которого пропорциональна расстоянию до гипотенузы, находится на его высоте, проведённой из вершины прямого угла, на расстоянии равном четверти длины гипотенузы от этой гипотенузы, т. е. посередине указанной высоты. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|