Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 2 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
artko |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
artko
Расположим треугольник так, чтобы его гипотенуза приняла горизонтальное положение, а вершина прямого угла расположилась сверху от неё. Поместим начало декартовой прямоугольной системы координат в левую точку гипотенузы, направив ось абсцисс слева направо, а ось ординат снизу вверх. Если длина гипотенузы равна [math]c,[/math] то вершина прямого угла находится в точке [math]\bigg(\frac{c}{2};~\frac{c}{2}\bigg),[/math] а уравнения катетов треугольника суть [math]y=x[/math] и [math]y=c-x.[/math] Расстояние от произвольной точки треугольника до его гипотенузы равно ординате этой точки. Если обозначить коэффициент пропорциональности между плотностью [math]\gamma[/math] треугольника и расстоянием [math]y[/math] от точки треугольника с соответствующей ординатой до гипотенузы через [math]k,[/math] то [math]\gamma=ky.[/math] Треугольник симметричен относительно своей высоты, проведённой из вершины прямого угла, поэтому центр тяжести треугольника расположен на этой высоте, т. е. [math]x_C=\frac{c}{2}.[/math] Найдём ординату [math]y_C[/math] центра тяжести треугольника: 1) найдём статический момент [math]S_x[/math] треугольника относительно оси абсцисс: [math]S_x=\iint\limits_{D}y\gamma(x,~y)dxdy=\int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{ky^2 dy}\int\limits_{y}^{c-y}{dx}=k\int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{y^2\bigg(c-2y \bigg)dy}=k\bigg(c \int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{y^2 dy}-2\int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{y^3 dy} \bigg)=[/math] [math]=k\left.{\bigg(\frac{c}{3}y^3-\frac{1}{2}y^4 \bigg)}\!\right|_{0}^{\frac{c}{2}}=k\bigg(\frac{c^4}{24}-\frac{c^4}{32} \bigg)=\frac{kc^4}{96};[/math] 2) найдём массу [math]m[/math] треугольника: [math]m=\iint\limits_{D}\gamma(x,~y)dxdy=\int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{kydy}\int\limits_{y}^{c-y}{dx}=k\int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{y\bigg(c-2y \bigg)dy}=k\bigg(c \int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{ydy}-2\int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{y^2 dy} \bigg)=[/math] [math]=k\left.{\bigg(\frac{c}{2}y^2-\frac{2}{3}y^3 \bigg)}\!\right|_{0}^{\frac{c}{2}}=k\bigg(\frac{c^3}{8}-\frac{2c^3}{24} \bigg)=\frac{kc^3}{24};[/math] 3) найдём ординату центра тяжести треугольника: [math]y_C=\frac{S_x}{m}=\frac{\frac{kc^4}{96}}{\frac{kc^3}{24}}=\frac{c}{4}.[/math] В итоге получили, что центр тяжести равнобедренного прямоугольного треугольника, поверхностная плотность которого пропорциональна расстоянию до гипотенузы, находится на его высоте, проведённой из вершины прямого угла, на расстоянии равном четверти длины гипотенузы от этой гипотенузы, т. е. посередине указанной высоты. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали: artko, mad_math |
||
[ Сообщений: 2 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |