Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти центр тяжести равнобедренного треугольника
СообщениеДобавлено: 11 ноя 2012, 13:56 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
11 ноя 2012, 13:39
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Найти центр тяжести равнобедренного прямоугольного треугольника, если в каждой его точке поверхностная плотность пропорциональна расстоянию до гипотенузы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти центр тяжести триугольНайти центр тяжести триугольника
СообщениеДобавлено: 11 ноя 2012, 21:44 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
artko
Расположим треугольник так, чтобы его гипотенуза приняла горизонтальное положение, а вершина прямого угла расположилась сверху от неё. Поместим начало декартовой прямоугольной системы координат в левую точку гипотенузы, направив ось абсцисс слева направо, а ось ординат снизу вверх. Если длина гипотенузы равна [math]c,[/math] то вершина прямого угла находится в точке [math]\bigg(\frac{c}{2};~\frac{c}{2}\bigg),[/math] а уравнения катетов треугольника суть [math]y=x[/math] и [math]y=c-x.[/math]

Расстояние от произвольной точки треугольника до его гипотенузы равно ординате этой точки. Если обозначить коэффициент пропорциональности между плотностью [math]\gamma[/math] треугольника и расстоянием [math]y[/math] от точки треугольника с соответствующей ординатой до гипотенузы через [math]k,[/math] то [math]\gamma=ky.[/math]

Треугольник симметричен относительно своей высоты, проведённой из вершины прямого угла, поэтому центр тяжести треугольника расположен на этой высоте, т. е. [math]x_C=\frac{c}{2}.[/math] Найдём ординату [math]y_C[/math] центра тяжести треугольника:
1) найдём статический момент [math]S_x[/math] треугольника относительно оси абсцисс:
[math]S_x=\iint\limits_{D}y\gamma(x,~y)dxdy=\int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{ky^2 dy}\int\limits_{y}^{c-y}{dx}=k\int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{y^2\bigg(c-2y \bigg)dy}=k\bigg(c \int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{y^2 dy}-2\int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{y^3 dy} \bigg)=[/math]

[math]=k\left.{\bigg(\frac{c}{3}y^3-\frac{1}{2}y^4 \bigg)}\!\right|_{0}^{\frac{c}{2}}=k\bigg(\frac{c^4}{24}-\frac{c^4}{32} \bigg)=\frac{kc^4}{96};[/math]

2) найдём массу [math]m[/math] треугольника:
[math]m=\iint\limits_{D}\gamma(x,~y)dxdy=\int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{kydy}\int\limits_{y}^{c-y}{dx}=k\int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{y\bigg(c-2y \bigg)dy}=k\bigg(c \int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{ydy}-2\int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{y^2 dy} \bigg)=[/math]

[math]=k\left.{\bigg(\frac{c}{2}y^2-\frac{2}{3}y^3 \bigg)}\!\right|_{0}^{\frac{c}{2}}=k\bigg(\frac{c^3}{8}-\frac{2c^3}{24} \bigg)=\frac{kc^3}{24};[/math]

3) найдём ординату центра тяжести треугольника:
[math]y_C=\frac{S_x}{m}=\frac{\frac{kc^4}{96}}{\frac{kc^3}{24}}=\frac{c}{4}.[/math]


В итоге получили, что центр тяжести равнобедренного прямоугольного треугольника, поверхностная плотность которого пропорциональна расстоянию до гипотенузы, находится на его высоте, проведённой из вершины прямого угла, на расстоянии равном четверти длины гипотенузы от этой гипотенузы, т. е. посередине указанной высоты.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
artko, mad_math
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти медиану равнобедренного треугольника

в форуме Геометрия

dikarka2004

2

369

05 дек 2022, 17:31

Найти центр тяжести однородного тела

в форуме Интегральное исчисление

KenDeR

0

112

22 ноя 2022, 19:12

Найти центр тяжести циркулем и линейкой

в форуме Геометрия

petr00

4

291

03 сен 2021, 15:57

Найти массу и центр тяжести тела

в форуме Интегральное исчисление

jennaisakova

3

567

13 дек 2015, 23:25

Вычислить криволинейный интеграл и найти центр тяжести

в форуме Интегральное исчисление

serezok1998

1

330

23 дек 2017, 21:35

Найти величину внутренних углов равнобедренного треугольника

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

DERIYS

4

350

28 янв 2023, 14:57

Найти уравнение боковой стороны равнобедренного треугольника

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

AlexeyGlad

2

907

30 окт 2016, 15:50

Найти центр тяжести плоской однородной фигуры, ограниченной

в форуме Интегральное исчисление

frynzik

0

366

01 июн 2015, 23:00

Найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной линиями

в форуме Интегральное исчисление

Pilbeg

1

641

02 июн 2014, 21:17

Найти центр тяжести однородной пластины ограниченной линиями

в форуме Интегральное исчисление

promenya

3

167

17 май 2021, 22:43


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved