Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти центр тяжести равнобедренного треугольника
СообщениеДобавлено: 11 ноя 2012, 13:56 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
11 ноя 2012, 13:39
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Найти центр тяжести равнобедренного прямоугольного треугольника, если в каждой его точке поверхностная плотность пропорциональна расстоянию до гипотенузы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти центр тяжести триугольНайти центр тяжести триугольника
СообщениеДобавлено: 11 ноя 2012, 21:44 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 20976
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 1823
Спасибо получено:
4543 раз в 4243 сообщениях
Очков репутации: 782

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
artko
Расположим треугольник так, чтобы его гипотенуза приняла горизонтальное положение, а вершина прямого угла расположилась сверху от неё. Поместим начало декартовой прямоугольной системы координат в левую точку гипотенузы, направив ось абсцисс слева направо, а ось ординат снизу вверх. Если длина гипотенузы равна [math]c,[/math] то вершина прямого угла находится в точке [math]\bigg(\frac{c}{2};~\frac{c}{2}\bigg),[/math] а уравнения катетов треугольника суть [math]y=x[/math] и [math]y=c-x.[/math]

Расстояние от произвольной точки треугольника до его гипотенузы равно ординате этой точки. Если обозначить коэффициент пропорциональности между плотностью [math]\gamma[/math] треугольника и расстоянием [math]y[/math] от точки треугольника с соответствующей ординатой до гипотенузы через [math]k,[/math] то [math]\gamma=ky.[/math]

Треугольник симметричен относительно своей высоты, проведённой из вершины прямого угла, поэтому центр тяжести треугольника расположен на этой высоте, т. е. [math]x_C=\frac{c}{2}.[/math] Найдём ординату [math]y_C[/math] центра тяжести треугольника:
1) найдём статический момент [math]S_x[/math] треугольника относительно оси абсцисс:
[math]S_x=\iint\limits_{D}y\gamma(x,~y)dxdy=\int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{ky^2 dy}\int\limits_{y}^{c-y}{dx}=k\int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{y^2\bigg(c-2y \bigg)dy}=k\bigg(c \int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{y^2 dy}-2\int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{y^3 dy} \bigg)=[/math]

[math]=k\left.{\bigg(\frac{c}{3}y^3-\frac{1}{2}y^4 \bigg)}\!\right|_{0}^{\frac{c}{2}}=k\bigg(\frac{c^4}{24}-\frac{c^4}{32} \bigg)=\frac{kc^4}{96};[/math]

2) найдём массу [math]m[/math] треугольника:
[math]m=\iint\limits_{D}\gamma(x,~y)dxdy=\int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{kydy}\int\limits_{y}^{c-y}{dx}=k\int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{y\bigg(c-2y \bigg)dy}=k\bigg(c \int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{ydy}-2\int\limits_{0}^{\frac{c}{2}}{y^2 dy} \bigg)=[/math]

[math]=k\left.{\bigg(\frac{c}{2}y^2-\frac{2}{3}y^3 \bigg)}\!\right|_{0}^{\frac{c}{2}}=k\bigg(\frac{c^3}{8}-\frac{2c^3}{24} \bigg)=\frac{kc^3}{24};[/math]

3) найдём ординату центра тяжести треугольника:
[math]y_C=\frac{S_x}{m}=\frac{\frac{kc^4}{96}}{\frac{kc^3}{24}}=\frac{c}{4}.[/math]


В итоге получили, что центр тяжести равнобедренного прямоугольного треугольника, поверхностная плотность которого пропорциональна расстоянию до гипотенузы, находится на его высоте, проведённой из вершины прямого угла, на расстоянии равном четверти длины гипотенузы от этой гипотенузы, т. е. посередине указанной высоты.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
artko, mad_math
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти центр тяжести

в форуме Интегральное исчисление

Masha94

1

290

12 ноя 2012, 18:20

Найти центр тяжести

в форуме Интегральное исчисление

Andrei93

26

1510

15 окт 2012, 17:53

Найти центр тяжести пластинки D

в форуме Интегральное исчисление

tapah4ik

2

335

25 май 2011, 17:56

Найти центр тяжести фигуры

в форуме Интегральное исчисление

dentachbad

1

310

17 ноя 2011, 00:28

Найти массу и центр тяжести тела

в форуме Интегральное исчисление

jennaisakova

3

215

13 дек 2015, 23:25

Найти уравнение медиан , центр тяжести

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Mihael

1

564

21 дек 2010, 17:34

Найти центр тяжести дуги окружности

в форуме Интегральное исчисление

nastena

6

1221

13 апр 2013, 22:30

Найти координаты вершины равнобедренного треугольника

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Senatrik

1

1327

27 мар 2013, 21:31

Найти наибольшую площадь равнобедренного треугольника

в форуме Геометрия

Renault

2

1278

18 апр 2011, 10:38

Найти основание тупоугольного равнобедренного треугольника

в форуме Геометрия

lika01

1

954

29 апр 2013, 18:46


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved