Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти центр масс однородного тела, ограниченного параболоид
СообщениеДобавлено: 09 ноя 2012, 17:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 ноя 2012, 17:28
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Подробное решение кратные интегралы.

Найти центр масс однородного тела, ограниченного параболоидом [math]z=\frac{x^2+y^2}{2a}[/math] и сферой [math]x^2+y^2+z^2=3a^2 (z \geqslant 0)[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти центр масс однородного тела, ограниченного параболоид
СообщениеДобавлено: 10 ноя 2012, 09:05 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tatata
Тело расположено над плоскостью Oxy между полусферой [math]z_2=\sqrt{3a^2-x^2-y^2}[/math] и параболоидом [math]z_1=\frac{x^2+y^2}{2a}.[/math]

Воспользуемся формулами
[math]x_C=\frac{1}{V}\iiint\limits_{V}xdxdydz,~y_C=\frac{1}{V}\iiint\limits_{V}ydxdydz,~z_C=\frac{1}{V}\iiint\limits_{V}zdxdydz.[/math]

Исходя из симметрии тела относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz, приходим к выводу, что
[math]x_C=0,~y_C=0.[/math]

Остаётся найти третью координату.

Область D лежит в плоскости Oxy Чтобы её найти, решим систему
[math]\left\{\!\begin{aligned} & x^2+y^2+z^2=3a^2, \\ & x^2+y^2=2az \end{aligned}\right. \Rightarrow z^2+2az=3a^2,~z=a.[/math]

Значит, сфера и параболоид пересекаются в плоскости [math]z=a[/math] по окружности [math]x^2+y^2=2a^2,[/math] а область D ограничена снаружи этой окружностью.

Перейдём к цилиндрическим координатам: [math]x=r\cos\varphi,~y=r\sin\varphi,~z=z[/math] и получим
[math]V=\iiint\limits_{V}dxdydz=4\iiint\limits_{\frac{V}{4}}rdrd\varphi dz=[/math]

[math]=4\iint\limits_{\frac{D}{4}}rdrd\varphi\int\limits_{\frac{r^2}{2a}}^{\sqrt{3a^2-r^2}}dz=4\iint\limits_{\frac{D}{4}}\bigg({\sqrt{3a^2-r^2}-\frac{r^2}{2a}\bigg)}rdrd\varphi=[/math]

[math]=4\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{d\varphi}\int\limits_{0}^{a\sqrt{2}}{\bigg({\sqrt{3a^2-r^2}-\frac{r^2}{2a}\bigg)}rdr}=4\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\int\limits_{0}^{a\sqrt{2}}{\bigg(r\sqrt{3a^2-r^2}-\frac{r^3}{2a}\bigg)dr}=[/math]

[math]=2\pi\cdot \left.{\bigg(-\frac{1}{3}\sqrt{(3a^2-r^2)^3}-\frac{r^4}{8a}\bigg)}\!\right|_{0}^{a\sqrt{2}}=\frac{\pi a^3(6\sqrt{3}-5)}{3},[/math]

[math]\iiint\limits_{V}zdxdydz=4\iiint\limits_{\frac{V}{4}}rdrd\varphi zdz=4\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{d\varphi}\int\limits_{0}^{a\sqrt{2}}{rdr}\int\limits_{\frac{r^2}{2a}}^{\sqrt{3a^2-r^2}}{zdz}=[/math]

[math]=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{d\varphi}\int\limits_{0}^{a\sqrt{2}}{r\bigg(3a^2-r^2-\frac{r^4}{4a^2}\bigg)dr}=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{d\varphi}\int\limits_{0}^{a\sqrt{2}}{\bigg(3a^2 r-r^3-\frac{r^5}{4a^2}\bigg)})dr}=[/math]

[math]=2\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\left.{\bigg(\frac{3a^2 r^2}{2}-\frac{r^4}{4}-\frac{r^6}{24a^2}\bigg)}\!\right|_{0}^{a\sqrt{2}}=\pi\bigg(3a^4-a^4-\frac{a^4}{3}\bigg)=\frac{5\pi a^4}{3},[/math]

[math]z_C=\frac{1}{V}\iiint\limits_{V}zdxdydz=\frac{\frac{5\pi a^4}{3}}{\frac{\pi a^3(6\sqrt{3}-5)}{3}}=\frac{5a}{6\sqrt{3}-5}.[/math]


Следовательно, центр тяжести заданного тела находится в точке [math]C\bigg(0;~0;~\frac{5a}{6\sqrt{3}-5}\bigg).[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
mad_math, Tatata
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти центр масс однородного тела

в форуме Информатика и Компьютерные науки

letuswedge

2

343

13 дек 2017, 19:41

Найти центр массы однородного тела ограниченного поверхностя

в форуме Теория чисел

Limpompo

5

474

27 дек 2017, 06:47

Найти центр тяжести однородного тела

в форуме Интегральное исчисление

KenDeR

0

112

22 ноя 2022, 19:12

Найти массу однородного тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

Kashirov+++

5

1839

07 май 2014, 10:43

Координаты центра масс однородного тела

в форуме Интегральное исчисление

tiktiko

1

159

31 окт 2020, 01:29

Центр масс

в форуме Интегральное исчисление

Cianile

0

459

16 окт 2015, 09:26

Центр масс (2)

в форуме Механика

MuCTeP_TTP0

2

62

25 ноя 2023, 13:00

Центр масс

в форуме Механика

MuCTeP_TTP0

17

189

23 ноя 2023, 00:36

Центр масс тетраэдра

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

onetwo

5

774

09 ноя 2015, 13:40

Тройной интеграл. Найти массу однородного тела

в форуме Интегральное исчисление

Andrey Rubin

3

213

05 ноя 2020, 09:52


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 26


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved