Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Эйлеровы интегралы
СообщениеДобавлено: 13 окт 2012, 21:29 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 апр 2012, 00:41
Сообщений: 70
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Подскажите, пожалуйста, в каком направлении двигаться?

Определить область существования и выразить через Эйлеровы интегралы

1) [math]\dispalystyle\int_0^1\dfrac{dx}{\sqrt[m]{1-x^n}}\;\;\;\;\;\;\;m>0[/math]

Выразить через Эйлеровы интегралы -- жто записать так?

[math]\dispalystyle\int_0^1(1-x^n)^{-m}dx[/math]

Сразу вспоминаю интеграл [math]\dispalystyle\int_0^1\dfrac{dx}{x^\alpha}[/math], который сходится при [math]\alpha<1[/math]

А что еще нужно сделать?

2) [math]\dispalystyle\int_0^1\dfrac{\sin^{n-1}x }{(1+k\cos x)^n} dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0<|k|<1[/math]

А тут с чего начать?

3) [math]\dispalystyle\int_0^{+\infty}e^{-x^n}dx[/math]

Знаю, что при [math]n=2[/math]-- точно сходится, а как при остальных исследовать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Эйлеровы интегралы
СообщениеДобавлено: 13 окт 2012, 21:56 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3) При n= 1 [math]I=1[/math]

При n=2 [math]I=\frac{\pi}{2}[/math]

При n=3 [math]I=\Gamma \bigg ( \frac 43\bigg )[/math]

При n=4 [math]I=\Gamma \bigg ( \frac 54\bigg )[/math]

и так далее...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
ole-ole-ole
 Заголовок сообщения: Re: Эйлеровы интегралы
СообщениеДобавлено: 13 окт 2012, 22:06 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 апр 2012, 00:41
Сообщений: 70
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
3) При n= 1 [math]I=1[/math]

При n=2 [math]I=\frac{\pi}{2}[/math]

При n=3 [math]I=\Gamma \bigg ( \frac 43\bigg )[/math]

При n=4 [math]I=\Gamma \bigg ( \frac 54\bigg )[/math]

и так далее...


То есть сходится при натуральных n?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Эйлеровы интегралы
СообщениеДобавлено: 13 окт 2012, 22:09 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сходится при всех. Просто при натуральных числах легко выражается через гамму-функцию.
Дробные тоже.

Например при n=9.4=94/10 [math]I= \Gamma \bigg (\frac {52}{47} \bigg )[/math]

При n=3/2 [math]I=\Gamma \bigg (\frac 53 \bigg )[/math]

Иными словами, если n представить в виде рациональной (несократимой) дроби, то есть [math]n=\frac km[/math] , то

[math]I= \Gamma \bigg (\frac {k+m}{k} \bigg )[/math]

Причем, если k=2, то интеграл имеет точное выражение, например:

при n=2/7 [math]I=\Gamma \bigg (\frac 92 \bigg )=\frac{105 \sqrt{\pi}}{16}[/math]

Если же k=1, то[math]I=m![/math]


Последний раз редактировалось Avgust 13 окт 2012, 23:05, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
ole-ole-ole
 Заголовок сообщения: Re: Эйлеровы интегралы
СообщениеДобавлено: 13 окт 2012, 22:38 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 апр 2012, 00:41
Сообщений: 70
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Сходится при всех. Просто при натуральных числах легко выражается через гамму-функцию.
Дробные тоже.

Например при n=9.4=94/10 [math]I= \Gamma \bigg (\frac {52}{47} \bigg )[/math]

При n=3/2 [math]I=\Gamma \bigg (\frac 53 \bigg )[/math]

Иными словами, если n представить в виде рациональной (несократимой) дроби, то есть [math]n=\frac km[/math] , то

[math]I= \Gamma \bigg (\frac {k+m}{k} \bigg )[/math]


Спасибо, а при иррациональных?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Эйлеровы интегралы
СообщениеДобавлено: 13 окт 2012, 22:47 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 апр 2012, 00:41
Сообщений: 70
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\dispalystyle\int_0^1\dfrac{\sin^{n-1}x }{(1+k\cos x)^n} dx=\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0<|k|<1[/math]

[math]=-\dfrac{n}{k^n}\dispalystyle\int_0^1\dfrac{d(1+k\cos x)^n}{(1+k\cos x)^n} dx=-\dfrac{n}{k^n}\ln\Big(1+k\cos x\Big)^n\Bigg|_0^1=-\dfrac{n^2}{k^n}\ln\Big(1+k\cos x\Big)\Bigg|_0^1[/math]

Сходится при всех n?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Эйлеровы интегралы
СообщениеДобавлено: 13 окт 2012, 23:32 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Любое иррациональное число можно с любой точностью представить в виде рациональной дроби и, следовательно, всегда можно интеграл выразить через гамма-функцию.

2) Думаю, что интеграл сходится при n>-1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
ole-ole-ole
 Заголовок сообщения: Re: Эйлеровы интегралы
СообщениеДобавлено: 13 окт 2012, 23:50 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 апр 2012, 00:41
Сообщений: 70
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Любое иррациональное число можно с любой точностью представить в виде рациональной дроби и, следовательно, всегда можно интеграл выразить через гамма-функцию.

2) Думаю, что интеграл сходится при n>-1


А почему?))

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Эйлеровы интегралы
СообщениеДобавлено: 14 окт 2012, 00:06 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 апр 2012, 00:41
Сообщений: 70
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Теперь я разобрался со вторым, а как быть с первым?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Эйлеровы интегралы
СообщениеДобавлено: 14 окт 2012, 01:57 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 апр 2012, 00:41
Сообщений: 70
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
2) [math]\displaystyle\int_0^\pi\dfrac{\sin^{n-1}x }{(1+k\cos x)^n} dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0<|k|<1[/math]

[math]t=\tg\Big(\dfrac{x}{2}\Big)[/math]

[math]x=2\arctg(t)[/math]

[math]dx=\dfrac{2dt}{1+t^2}[/math]

[math]\sin x =\dfrac{2\sin\Big(\dfrac{x}{2}\Big)\cos\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}{\sin^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)+\cos^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}=\dfrac{2\tg\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}{1+\tg^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}=\dfrac{2t}{1+t^2}[/math]

[math]\cos x =\dfrac{\cos^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)-\sin^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}{\sin^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)+\cos^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}=\dfrac{1-\tg^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}{1+\tg^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}[/math]

[math]\displaystyle\int_0^\pi\dfrac{\sin^{n-1}x }{(1+k\cos x)^n} dx=\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\Big(\dfrac{2t}{1+t^2}\Big)^{n-1}\cdot \dfrac{2dt}{1+t^2}}{\Big(1+k\cdot \dfrac{1-t^2}{1+t^2}\Big)^n}=2^{n}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{t^{n-1}dt}{\Big(1+t^2+k(1-t^2)\Big)^n}=[/math]

[math]=2^{n}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{t^{n-1}dt}{\Big(1+k+(1-k)t^2)\Big)^n}=
\dfrac{2^{n}}{(1+k)^n}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{t^{n-1}dt}{\Big(1+\frac{(1-k)t^2}{1+k})\Big)^n}=[/math]


[math]=\Bigg|a^2=\frac{(1-k)}{1+k}\Bigg|=\dfrac{2^{n}}{(1+k)^n}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{t^{n-1}dt}{\Big(1+(at)^2\Big)^n}}=[/math]

[math]=\Bigg|y=at\Bigg|=
\dfrac{2^{n}\cdot a^{1-n}\cdot a^{-1}}{(1+k)^n}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{y^{n-1}dy}{\Big(1+y^2\Big)^n}}=[/math]


[math]=\dfrac{2^{n}}{(1+k)^n}\cdot \Big(\dfrac{1+k}{1-k}\Big)^{n|2}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{y^{n-1}dy}{\Big(1+y^2\Big)^n}}=\dfrac{2^{n}}{(1-k^2)^{n|2}}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{y^{n-1}dy}{\Big(1+y^2\Big)^{n}}=[/math]

А как дальше? А как с первой задачей?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 13 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Эйлеровы интегралы

в форуме Интегральное исчисление

KikoAxis

4

507

21 май 2016, 22:10

Эйлеровы интегралы

в форуме Интегральное исчисление

goldsold

7

1245

28 май 2014, 22:00

Эйлеровы интегралы

в форуме Интегральное исчисление

stu25

0

216

25 фев 2019, 21:01

Эйлеровы интегралы

в форуме Интегральное исчисление

cuttheknot

1

279

12 янв 2018, 18:39

Эйлеровы интегралы

в форуме Интегральное исчисление

goldsold

0

240

28 май 2014, 21:58

Найдите эйлеровы графы

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Redmal

0

279

14 апр 2014, 12:30

ИНТЕГРАЛЫ

в форуме Интегральное исчисление

Masha2401

5

208

20 дек 2016, 21:24

ИНТЕГРАЛЫ 12

в форуме Интегральное исчисление

Masha2401

1

214

21 дек 2016, 21:07

Интегралы

в форуме Интегральное исчисление

Pupupupu

1

81

22 фев 2024, 14:14

Интегралы

в форуме Интегральное исчисление

Vilya198

1

199

09 дек 2016, 15:31


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 28


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved