Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Исследовать на сходимость))))
СообщениеДобавлено: 19 июн 2012, 23:40 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 июн 2011, 11:57
Сообщений: 340
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
52 раз в 46 сообщениях
Очков репутации: 24

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Друзья помогите, подскажите пожалуйста каким признакам (сравнения, Абеля, Дирихле) можно исследовать данные интегралы: Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на сходимость))))
СообщениеДобавлено: 19 июн 2012, 23:59 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 июн 2011, 11:57
Сообщений: 340
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
52 раз в 46 сообщениях
Очков репутации: 24

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1) Признак сравнения , так как lnx/sqrt(x^3+3) >1/sqrt(x^3+3) Достаточно исследовать вот этот интеграл 1/sqrt(x^3+3) Так?

2) И второй интеграл решается с помощью признак сравнения)))????? так?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на сходимость))))
СообщениеДобавлено: 20 июн 2012, 01:23 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mozhik писал(а):
1) Признак сравнения, так как lnx/sqrt(x^3+3) >1/sqrt(x^3+3) Достаточно исследовать вот этот интеграл 1/sqrt(x^3+3) Так?

Почитайте внимательно о признаке сравнения.
Так как, очевидно, на луче [math][1;+\infty)[/math] справедливы неравенства

[math]0 \leqslant \frac{\ln x}{\sqrt{x^3+3}} \leqslant \frac{\ln x}{\sqrt{x^3}}= x^{-3/2}\ln x[/math]

то, следовательно, будут выполняться и неравенства

[math]0\leqslant \int\limits_1^{+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x^3+3}}\,dx \leqslant \int\limits_1^{+\infty}x^{-3/2}\ln x\,dx[/math]

но второй интеграл сходится, поскольку

[math]\begin{aligned}\int\limits_1^{+\infty} x^{-3/2}\ln x\,dx &= \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \int\limits_1^b \ln x\,d(-2x^{-1/2})= \lim_{b\to+\infty}\Biggl(\Bigl.{- 2x^{-1/2}\ln x} \Bigr|_1^b + 2\int\limits_1^b {\frac{x^{-1/2}}{x}\,dx \Biggr) =\\ &= \lim_{b\to+\infty}\Biggl(\left.{ - 2x^{-1/2}\ln x} \right|_1^b + 2\int\limits_1^b x^{-3/2}\,dx\Biggr)= \lim_{b\to+\infty}\!\left( {\Bigl.{- 2x^{-1/2}\ln x} \Bigr|_1^b - \Bigl. {4x^{-1/2}} \Bigr|_1^b} \right)= \\ &= \left. {-2\lim_{b\to+\infty} \frac{{\ln x + 2}}{\sqrt x}} \right|_1^b = - 2\lim_{b \to + \infty }\!\left(\frac{\ln b + 2}{\sqrt b} - \frac{\ln 1 + 2}{\sqrt 1} \right) = \ldots=4 \end{aligned}[/math]

Итак, согласно первому признаку сравнения, исходный интеграл сходится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
mozhik
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на сходимость))))
СообщениеДобавлено: 20 июн 2012, 02:03 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Второй интеграл:

поскольку [math]\max_{x\in\left[\frac{2}{3};1\right]}\operatorname{tg}{\frac{1}{x}} =\operatorname{tg}{\frac{3}{2}}[/math], то на отрезке [math]\left[\frac{2}{3};1\right][/math], очевидно, будут справедливы неравенства:

[math]0 \leqslant \frac{{\operatorname{tg}\dfrac{1}{x}}}{\sqrt{1-x^2}}\leqslant \frac{\operatorname{tg}\dfrac{3}{2}}{\sqrt{1-x^2}}[/math] и, следовательно, выполняться и неравенства:

[math]0\leqslant \int\limits_{2/3}^1 \frac{\operatorname{tg}\dfrac{1}{x}}{\sqrt {1- x^2}}\,dx \leqslant \operatorname{tg} \frac{3}{2}\int\limits_{2/3}^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}= \ldots = \operatorname{tg}\frac{3}{2}\left(\frac{\pi }{2} - \arcsin \frac{2}{3}\right)\approx 11,\!86[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
mozhik
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Исследовать на сходимость и равномерную сходимость послед

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

STARKENNY

1

750

27 дек 2015, 11:45

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

belke

1

195

01 ноя 2021, 09:16

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

belke

1

207

01 ноя 2021, 09:13

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

belke

2

220

01 ноя 2021, 09:16

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

belke

1

185

01 ноя 2021, 09:12

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

belke

1

179

01 ноя 2021, 09:11

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

ArinaGross

0

240

21 дек 2018, 12:19

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость ряд

в форуме Объявления участников Форума

neotouch

5

448

08 дек 2022, 15:35

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

stanleykubrick

2

208

07 фев 2020, 00:35

Исследовать на сходимость ряд

в форуме Ряды

Dasha138

2

420

04 июн 2015, 22:57


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved