Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сходимость
СообщениеДобавлено: 17 июн 2012, 21:33 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
05 дек 2011, 20:07
Сообщений: 102
Cпасибо сказано: 64
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1) [math]\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin^2x}{|x^2-\pi^2|}[/math]

Размышления

[math]\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin^2x}{|x^2-\pi^2|}=\displaystyle\int_0^{\pi}\frac{\sin^2x}{x^2-\pi^2}+\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\sin^2x}{x^2-\pi^2}[/math]

Ели рассмотреть

[math]I_1=\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\sin^2x}{x^2-\pi^2}[/math], то он сходится по Дирихле.

Ели рассмотреть следующий интеграл, то не ясно - что с ним можно сделать. Да, синус ограничен, но ...

[math]I_2=\displaystyle\int_0^{\pi}\frac{\sin^2x}{x^2-\pi^2}[/math]


2) [math]\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin(e^x)}{\sqrt{|x|}}dx[/math]

Размышления

[math]\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin(e^x)}{\sqrt{|x|}}dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{0}\frac{\sin(e^x)}{\sqrt{-x}}dx+\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(e^x)}{\sqrt{x}}dx[/math]

Мне кажется, что тут они оба по Дирихле сходятся, но вот особенность в нуле настораживает.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость
СообщениеДобавлено: 17 июн 2012, 22:37 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
lampard
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость
СообщениеДобавлено: 17 июн 2012, 22:56 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
05 дек 2011, 20:07
Сообщений: 102
Cпасибо сказано: 64
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Изображение


Спасибо, значит сходится. Но вот почему, вот в чем вопрос

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость
СообщениеДобавлено: 17 июн 2012, 23:07 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
05 дек 2011, 20:07
Сообщений: 102
Cпасибо сказано: 64
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Больше всего настораживает поведение в нуле

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость
СообщениеДобавлено: 18 июн 2012, 00:00 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
11 май 2011, 16:52
Сообщений: 4429
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
1115 раз в 923 сообщениях
Очков репутации: 409

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
lampard писал(а):
Больше всего настораживает поведение в нуле
В нуле ваще беспредел выходит, а уж в [math]e^2[/math] что творится - тушите свет!!! :lol:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю arkadiikirsanov "Спасибо" сказали:
Alexdemath
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость
СообщениеДобавлено: 18 июн 2012, 00:31 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
05 дек 2011, 20:07
Сообщений: 102
Cпасибо сказано: 64
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
arkadiikirsanov писал(а):
lampard писал(а):
Больше всего настораживает поведение в нуле
В нуле ваще беспредел выходит, а уж в [math]e^2[/math] что творится - тушите свет!!! :lol:


Это я про вторую задачу. В первой смущает поведение на районе у [math]x=\pi^2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость
СообщениеДобавлено: 18 июн 2012, 02:10 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
05 дек 2011, 20:07
Сообщений: 102
Cпасибо сказано: 64
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ой, даже вот так будет лучше - в первом не ясно --- как доказать, что окрестности [math]x=\pm \pi[/math] не делают бесконечный вклад в интеграл. В лоб не вычислить данный интеграл...

Есть такая идея.[math]\displaystyle\int_0^{\pi}\frac{\sin^2x}{x^2-\pi^2}\,dx\leqslant \displaystyle\int_0^{\pi}\frac{dx}{x^2-\pi^2}=\infty[/math]

Но это не дает информации

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость
СообщениеДобавлено: 18 июн 2012, 03:04 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
lampard

А функция [math]f(x)=\frac{\sin^{2} {x} }{|x^2-\pi^2|}[/math] имеет в какой-либо точке на отрезке [math][0;\pi][/math] бесконечный разрыв??

Прочитайте внимательно определение несобственного интеграла второго рода.

Модуль раскрыли неверно, должно быть [math]\int\limits_0^{+\infty}\frac{\sin^2x}{|x^2-\pi^2|}\,dx=\int\limits_0^{\pi}\frac{\sin^2x}{\boldsymbol{\pi^2-x^2}}\,dx+ \int\limits_{\pi}^{+\infty}\frac{\sin^2x}{x^2-\pi^2}\,dx[/math]

Да и вообще, как у Вас получилось по Дирихле?

lampard писал(а):
Ели рассмотреть [math]I_1=\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\sin^2x}{x^2-\pi^2}[/math], то он сходится по Дирихле

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
lampard
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость
СообщениеДобавлено: 18 июн 2012, 08:17 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
05 дек 2011, 20:07
Сообщений: 102
Cпасибо сказано: 64
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath писал(а):
lampard

А функция [math]f(x)=\frac{\sin^{2} {x} }{|x^2-\pi^2|}[/math] имеет в какой-либо точке на отрезке [math][0;\pi][/math] бесконечный разрыв??


Да, в точке [math]x=\pi[/math] разрыв второго рода


Alexdemath писал(а):
lampard

Прочитайте внимательно определение несобственного интеграла второго рода.



Сделано

Как раз получается это интеграл второго рода, но нужно объяснить - почему сходится он, в лоб ведь не вычислить его

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость
СообщениеДобавлено: 18 июн 2012, 08:26 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
05 дек 2011, 20:07
Сообщений: 102
Cпасибо сказано: 64
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath писал(а):
lampard
Да и вообще, как у Вас получилось по Дирихле?



Тут ведь две особенности, все-таки лучше разбить на 2 интеграла его.

[math]\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}\frac{\sin^2x}{x^2-\pi^2}dx=\displaystyle\int_{\pi}^{5}\frac{\sin^2x}{x^2-\pi^2}dx+\displaystyle\int_{5}^{+\infty}\frac{\sin^2x}{x^2-\pi^2}dx[/math]

Второй интеграл сходится, так как [math]\sin^2x\leqslant 1[/math], а знаменатель монотонно стремиться к бесконечности.

А с [math]\displaystyle\int_{\pi}^{5}\frac{\sin^2x}{x^2-\pi^2}dx[/math] пока что все-таки не знаю, ведь его в лоб опять не вычислить

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3  След.  Страница 1 из 3 [ Сообщений: 22 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Исследовать на сходимость и равномерную сходимость послед

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

STARKENNY

1

702

27 дек 2015, 11:45

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

makc59

1

1087

22 июл 2014, 22:07

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

belke

1

183

01 ноя 2021, 09:13

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

belke

2

183

01 ноя 2021, 09:16

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

belke

1

156

01 ноя 2021, 09:12

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

belke

1

151

01 ноя 2021, 09:11

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

belke

1

165

01 ноя 2021, 09:16

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

stanleykubrick

2

167

07 фев 2020, 00:35

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость ряд

в форуме Объявления участников Форума

neotouch

5

334

08 дек 2022, 15:35

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

ArinaGross

0

214

21 дек 2018, 12:19


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Sasha9468 и гости: 43


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved