Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

площадь и объем
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=17705
Страница 1 из 2

Автор:  dazzy74 [ 17 июн 2012, 20:11 ]
Заголовок сообщения:  площадь и объем

Добрый день!
впринцыпе достаточно будет только одних графиков!! т.к. решение уже есть, нужно разобраться как все решалось.

Вложения:
.jpg
.jpg [ 49.51 Кб | Просмотров: 37 ]

Автор:  dazzy74 [ 17 июн 2012, 21:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: площадь и объем

По поводу второй задачи, там получается [math]V=\iint\frac{x^3}{a^2}\,dxdy[/math] почему подставляем именно [math]\frac{x^3}{a^2}[/math]??

Автор:  Alexdemath [ 18 июн 2012, 13:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: площадь и объем

dazzy74 писал(а):
По поводу второй задачи, там получается [math]V=\iint\frac{x^3}{a^2}\,dxdy[/math] почему подставляем именно [math]\frac{x^3}{a^2}[/math]??

Вам нужно сначала записать проекцию тела на плоскость [math]Oxy[/math], а затем вычислить искомый объём с помощью тройного интеграла.

[math]D_{xy}= \Bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon\, -R \leqslant y\leqslant R,~0 \leqslant x \leqslant \sqrt{R^2-y^2}\Bigr\}[/math]

[math]V= \iint\limits_{D_{xy}}f(x,y)\,dxdy= \frac{1}{a^2}\int\limits_{-R}^R dy \int\limits_0^{\sqrt{R^2-y^2}}x^3\,dx= \frac{1}{a^2}\int\limits_{-R}^R dy\! \left.{\frac{x^4}{4}}\right|_0^{\sqrt{R^2-y^2}}= \frac{1}{4a^2}\int\limits_{ - R}^R (R^2-y^2)^2\,dy= \ldots=\frac{4}{15}\frac{R^5}{a^2}[/math]

Автор:  dazzy74 [ 18 июн 2012, 16:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: площадь и объем

в какой проге или на каком сайте можно построить графики для этих двух задач??
просто все, что я находил-там только одна функция :cry:

Автор:  Alexdemath [ 18 июн 2012, 17:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: площадь и объем

dazzy74

Графики не получится построить, так как есть параметры: [math]{a}[/math] и [math]{R}[/math].

Автор:  vvvv [ 18 июн 2012, 17:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: площадь и объем

Вот картинка для второй задачи.
Изображение

Автор:  Alexdemath [ 18 июн 2012, 17:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: площадь и объем

Первая задача:

[math]\begin{aligned}z&= \sqrt{a^2-x^2-y^2}\\ z'_x&= \frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}~~ \Rightarrow ~~z'_x^2 = \frac{x^2}{a^2-x^2-y^2}\\ z'_y&= \frac{-y}{\sqrt{a^2- x^2-y^2}} ~~\Rightarrow ~~z'_y^2 = \frac{y^2}{a^2-x^2- y^2}\end{aligned}[/math]

[math]\begin{aligned}&ds =\sqrt{1+z'_x^2+z'_y^2}\,dxdy= \frac{a\,dxdy}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\\ &D_{xy}= \Bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon\,x^2+y^2\leqslant R^2\Bigr\}\end{aligned}[/math]

[math]\begin{aligned}S&= 2\iint\limits_{D_{xy}}ds= 2a\iint\limits_{x^2+y^2\leqslant R^2}\frac{dxdy}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} = \left\{ \begin{gathered}x = r\cos \varphi, \hfill \\y = r\sin \varphi \hfill \\ \end{gathered} \right\} = 2a\int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^R \frac{r\,dr}{\sqrt{a^2-r^2}}=\\ &=2a \cdot 2\pi \cdot \frac{1}{-2}\int\limits_0^R (a^2-r^2)^{-1/2}\,d(a^2-r^2)= \left. {-4a\pi \sqrt{a^2-r^2}}\right|_0^R = 4\pi \Bigl(a\sqrt{a^2-R^2}-a^2\Bigr) \end{aligned}[/math]

Автор:  dazzy74 [ 19 июн 2012, 16:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: площадь и объем

а почему перед интегралом двойка??

Автор:  Alexdemath [ 19 июн 2012, 17:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: площадь и объем

dazzy74 писал(а):
а почему перед интегралом двойка??

Мы для расчётов из уравнения сферы взяли только верхнюю полусферу, но цилиндр также вырезает такую же площадь и в нижней полусфере [math]z=-\sqrt{a^2-x^2-y^2}[/math].

Автор:  dazzy74 [ 21 июн 2012, 16:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: площадь и объем

А для первой задачи никак не построить график? А то требуют

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/