Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычислить при помощи тройного интеграла объем тела
СообщениеДобавлено: 10 ноя 2010, 12:29 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
01 ноя 2010, 10:56
Сообщений: 15
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вычислить при помощи тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями:

[math]z^2=1-y,~y=x^2~(z\geqslant0)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить при помощи тройного интеграла объем тела
СообщениеДобавлено: 10 ноя 2010, 13:44 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Honda RSW писал(а):
Вычислить при помощи тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями:

[math]z^2=1-y,~y=x^2~(z\geqslant0)[/math]

Данное тело ограничено двумя параболическими цилиндрами и плоскостью аппликат (z=0). Проекцией тела на плоскость x0y является фигура, образованная пересечением параболы y=x^2 и прямой y=1. Следовательно

[math]{V=\Bigl\{(x,y,z)\mid-1\leqslant{x}\leqslant1,\,x^2\leqslant{y}\leqslant1,\,0\leqslant{z}\leqslant\sqrt{1-y}\Bigl\}.}[/math]

Итак, вычислим искомый объём данного тела:

[math]{V=\iiint\limits_V{dxdydz}=\int\limits_{-1}^1{dx}\int\limits_{x^2}^1{dy}\int\limits_0^{\sqrt{1-y}}{dz}=\int\limits_{-1}^1{dx}\int\limits_{x^2}^1\!\sqrt{1-y}\,dy=-\frac{2}{3}\int\limits_{-1}^1\Bigl.{(1-y)^{3/2}}\Bigl|_{x^2}^1dx=}[/math]

[math]{=\frac{2}{3}\int\limits_{-1}^1(1-x^2)^{3/2}\,dx=\frac{4}{3}\int\limits_0^1(1-x^2)^{3/2}\,dx=\left\{\begin{gathered}x=\sin{t}\hfill\\dx=\cos{t}\,dt\hfill\\\end{gathered}\right\}=\frac{4}{3}\int\limits_0^{\pi/2}\cos^4t\,dt=}[/math]

[math]{=\frac{4}{3}\int\limits_0^{\pi/2}{\!\left(\frac{1+\cos2t}{2}\right)\!}^2dt=\frac{1}{3}\int\limits_0^{\pi/2}\Bigl(1+2\cos2t+\cos^22t\Bigl)dt=}[/math]

[math]{=\frac{1}{3}\int\limits_0^{\pi/2}\!\left(1+2\cos2t+\frac{1+\cos4t}{2}\right)\!dt=\frac{1}{3}\int\limits_0^{\pi/2}\!\left(\frac{3}{2}+2\cos2t+\frac{1}{2}\cos4t\right)\!dt=}[/math]

[math]{=\left.{\frac{1}{3}\!\left(\frac{3}{2}t+\sin2t+\frac{1}{8}\sin4t\right)}\right|_0^{\pi/2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3\pi}{4}=\frac{\pi}{4}}[/math] (куб. ед.).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
Honda RSW
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить при помощи тройного интеграла объем тела
СообщениеДобавлено: 10 ноя 2010, 14:10 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 00:53
Сообщений: 1391
Откуда: Вязьма
Cпасибо сказано: 138
Спасибо получено:
984 раз в 642 сообщениях
Очков репутации: 263

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
---

Вложения:
 тела с помощью тройного интеграла.JPG
тела с помощью тройного интеграла.JPG [ 207.22 Кб | Просмотров: 80 ]
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Uncle Fedor "Спасибо" сказали:
Honda RSW
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить при помощи тройного интеграла объем тела
СообщениеДобавлено: 10 ноя 2010, 14:54 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 00:53
Сообщений: 1391
Откуда: Вязьма
Cпасибо сказано: 138
Спасибо получено:
984 раз в 642 сообщениях
Очков репутации: 263

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
---

Вложения:
 тела с помощью тройного интеграла(1).JPG
тела с помощью тройного интеграла(1).JPG [ 16.15 Кб | Просмотров: 70 ]
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Uncle Fedor "Спасибо" сказали:
Honda RSW
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела

в форуме Интегральное исчисление

BlackBird

2

697

26 май 2015, 14:46

Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела

в форуме Интегральное исчисление

arkasha2026

2

175

29 май 2022, 23:28

Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела

в форуме Интегральное исчисление

JaraEb

1

534

03 май 2014, 03:00

С помощью тройного интеграла вычислить объем тела

в форуме Интегральное исчисление

Polina9449

2

440

10 июн 2018, 09:27

Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела

в форуме Интегральное исчисление

ShmelDimka

1

299

27 май 2017, 14:38

Вычислить объем тела с помощью тройного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

natalinattta

3

467

01 янв 2017, 18:51

Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограничен

в форуме Интегральное исчисление

tanyhaftv

15

693

30 май 2021, 15:42

Объем тела с помощью тройного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

Velese

2

174

05 ноя 2020, 14:28

Объем тела с помощью тройного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

ExtreMaLLlka

8

292

21 мар 2019, 22:27

С помощью тройного интеграла найти объем тела

в форуме Интегральное исчисление

Brunetka25

0

493

07 дек 2015, 16:05


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 30


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved