Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
Honda RSW |
|
||
[math]z^2=1-y,~y=x^2~(z\geqslant0)[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
Alexdemath |
|
|
Honda RSW писал(а): Вычислить при помощи тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями: [math]z^2=1-y,~y=x^2~(z\geqslant0)[/math] Данное тело ограничено двумя параболическими цилиндрами и плоскостью аппликат (z=0). Проекцией тела на плоскость x0y является фигура, образованная пересечением параболы y=x^2 и прямой y=1. Следовательно [math]{V=\Bigl\{(x,y,z)\mid-1\leqslant{x}\leqslant1,\,x^2\leqslant{y}\leqslant1,\,0\leqslant{z}\leqslant\sqrt{1-y}\Bigl\}.}[/math] Итак, вычислим искомый объём данного тела: [math]{V=\iiint\limits_V{dxdydz}=\int\limits_{-1}^1{dx}\int\limits_{x^2}^1{dy}\int\limits_0^{\sqrt{1-y}}{dz}=\int\limits_{-1}^1{dx}\int\limits_{x^2}^1\!\sqrt{1-y}\,dy=-\frac{2}{3}\int\limits_{-1}^1\Bigl.{(1-y)^{3/2}}\Bigl|_{x^2}^1dx=}[/math] [math]{=\frac{2}{3}\int\limits_{-1}^1(1-x^2)^{3/2}\,dx=\frac{4}{3}\int\limits_0^1(1-x^2)^{3/2}\,dx=\left\{\begin{gathered}x=\sin{t}\hfill\\dx=\cos{t}\,dt\hfill\\\end{gathered}\right\}=\frac{4}{3}\int\limits_0^{\pi/2}\cos^4t\,dt=}[/math] [math]{=\frac{4}{3}\int\limits_0^{\pi/2}{\!\left(\frac{1+\cos2t}{2}\right)\!}^2dt=\frac{1}{3}\int\limits_0^{\pi/2}\Bigl(1+2\cos2t+\cos^22t\Bigl)dt=}[/math] [math]{=\frac{1}{3}\int\limits_0^{\pi/2}\!\left(1+2\cos2t+\frac{1+\cos4t}{2}\right)\!dt=\frac{1}{3}\int\limits_0^{\pi/2}\!\left(\frac{3}{2}+2\cos2t+\frac{1}{2}\cos4t\right)\!dt=}[/math] [math]{=\left.{\frac{1}{3}\!\left(\frac{3}{2}t+\sin2t+\frac{1}{8}\sin4t\right)}\right|_0^{\pi/2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3\pi}{4}=\frac{\pi}{4}}[/math] (куб. ед.). |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: Honda RSW |
||
Uncle Fedor |
|
|
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Uncle Fedor "Спасибо" сказали: Honda RSW |
||
Uncle Fedor |
|
|
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Uncle Fedor "Спасибо" сказали: Honda RSW |
||
[ Сообщений: 4 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 30 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |