Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Интегрируемость функции f(x) на некотором отрезке
СообщениеДобавлено: 03 май 2012, 14:44 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 апр 2012, 16:04
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если функция [math]f(x)[/math] интегрируема на некотором отрезке и не обращается на нём в нуль, то будет ли на этом отрезке всегда интегрируема функция [math]\frac{1}{f(x)}[/math]?
Ответ обосновать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задание на обоснование
СообщениеДобавлено: 03 май 2012, 16:28 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нет. Рассмотрим, например, функцию

[math]f(x)=\begin{cases}x,&x\in(0,1];\\1,&x=0.\end{cases}[/math]


Эта функция ограничена на отрезке [math][0,1][/math] и интегрируема на любом отрезке вида [math][\eta,1],\ 0<\eta<1[/math] в силу непрерывности, значит она интегрируема на всём отрезке [math][0,1][/math] (доказательство здесь). Также видно, что она нигде не обращается в нуль. Тем не менее, функция

[math]\frac1{f(x)}=\begin{cases}\frac1x,&x\in(0,1];\\1,&x=0.\end{cases}[/math]


неограниченна на отрезке [math][0,1][/math], значит она на нём не интегрируема.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задание на обоснование
СообщениеДобавлено: 04 май 2012, 19:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 апр 2012, 20:40
Сообщений: 16
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Нет. Рассмотрим, например, функцию

[math]f(x)=\begin{cases}x,&x\in(0,1];\\1,&x=0.\end{cases}[/math]


Эта функция ограничена на отрезке [math][0,1][/math] и интегрируема на любом отрезке вида [math][\eta,1],\ 0<\eta<1[/math] в силу непрерывности, значит она интегрируема на всём отрезке [math][0,1][/math] (доказательство здесь). Также видно, что она нигде не обращается в нуль. Тем не менее, функция

[math]\frac1{f(x)}=\begin{cases}\frac1x,&x\in(0,1];\\1,&x=0.\end{cases}[/math]


неограниченна на отрезке [math][0,1][/math], значит она на нём не интегрируема.

что из доказательства по ссылке обязательно нужно написать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интегрируемость функции f(x) на некотором отрезке
СообщениеДобавлено: 04 май 2012, 20:44 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
__Oksana__ писал(а):
что из доказательства по ссылке обязательно нужно написать?


Ну, если Вы считаете известным, что ограниченная на отрезке функция, имеющая на нём конечное число точек разрыва, интегрируема на этом отрезке, то ничего писать не надо. Если же нет, то обратитесь к последнему посту той темы и, следуя ему, составьте доказательство, аналогичное тому, что написано во 2-ом посте, для предложенной мною функции.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Интегрируемость функции Римаан

в форуме Интегральное исчисление

Rupert Spaira

4

247

09 июн 2022, 17:56

Существование функции на отрезке

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Zqquiet

10

333

20 дек 2020, 23:01

Найти экстремум функции на отрезке

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Newbie_MTF

16

1020

04 янв 2018, 05:40

Критерий непреривности функции на отрезке

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

13j

2

233

11 фев 2017, 04:23

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

krauzer1

5

344

27 мар 2020, 13:44

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

в форуме Дифференциальное исчисление

Olia123

3

375

10 фев 2023, 13:28

Найти наименьшее значение функции на отрезке

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

alekseev

1

319

10 июл 2015, 20:21

Наибольшее и наименьшее знач функции, непрерывной на отрезке

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Vantabu

15

647

18 июн 2019, 20:15

Найти среднее значение функции на заданном отрезке

в форуме Интегральное исчисление

kittycat_13

3

1196

25 май 2015, 23:38

Найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

olga_budilova

1

230

28 июн 2016, 16:26


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved