Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
| Автор | Сообщение | ||
|---|---|---|---|
| igorek |
|
||
|
[math]\int\limits_{0}^{1}\frac{\sin\alpha x}{\sqrt{|x-\alpha|}}\,dx,\quad E=[0;1][/math] |
|||
| Вернуться к началу | |||
| Avgust |
|
||
| Вернуться к началу | |||
| Human |
|
||
|
Мне непонятно, как для такого интеграла вообще вводится понятие равномерной сходимости: у него особая точка зависит от [math]\alpha[/math], а известное мне определение равномерной сходимости предписывает этой точке быть одной и той же для всех [math]\alpha\in E[/math], чаще всего это один из пределов интегрирования. Так что этот момент хотелось бы у ТС уточнить, либо отправить меня к соответствующему определению, если оно существует.
|
|||
| Вернуться к началу | |||
| igorek |
|
|
|
Human писал(а): Мне непонятно, как для такого интеграла вообще вводится понятие равномерной сходимости: у него особая точка зависит от [math]\alpha[/math], а известное мне определение равномерной сходимости предписывает этой точке быть одной и той же для всех [math]\alpha\in E[/math], чаще всего это один из пределов интегрирования. Так что этот момент хотелось бы у ТС уточнить, либо отправить меня к соответствующему определению, если оно существует. Открой учебник по математическому анализу(например, Зорича или Кудрявцева) и прочти главу "Несобственные интегралы зависящие от параметра". |
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
||
|
Тогда не могли бы Вы указать точно страницу в учебнике Кудрявцева (у меня издание 2003 года), где формулируется определение. Как я сказал ранее, я нашёл лишь стандартное определение для интегралов, у которых отрезок интегрирования не зависит от параметра. В данном случае он зависит, поскольку
[math]\int\limits_0^1\frac{\sin\alpha x}{\sqrt{|x-\alpha|}}\,dx=\int\limits_0^{\alpha}\frac{\sin\alpha x}{\sqrt{|x-\alpha|}}\,dx+\int\limits_{\alpha}^1\frac{\sin\alpha x}{\sqrt{|x-\alpha|}}\,dx[/math] и точки [math]\alpha[/math] являются для интеграла особыми. Всё, что я нашёл по поводу интеграла Вашего типа, - это абзац почти в самом конце 2-ого тома, в котором просто констатируется факт существования таких интегралов и что они называются потенциалами. Определение равномерной сходимости для них я не нашёл. Попробую поискать в Зориче. |
|||
| Вернуться к началу | |||
| Human |
|
||
|
Как я и думал, в Зориче ситуация аналогичная. Хотя не, даже хуже: там такие интегралы вообще не упоминаются. В задачах к главе тоже подобных интегралов не нашёл.
Зато Ваш интеграл и ещё один подобный, с логарифмом, нашёл в 3-ем томе сборника задач Кудрявцева: глава 3, [math]\S[/math]14, номера 8.2) и 8.3) соответственно. Интересно, как авторы предполагали их решать, если определения для них не то, что не сформулированы, но даже непонятно, как их ввести аналогично тому, как это было сделано для интегралов с фиксированной особенностью на верхнем пределе? Кто-нибудь из форумчан знает? А то ведь придётся идти к гениям на [math]dxdy[/math]. ![]() |
|||
| Вернуться к началу | |||
| igorek |
|
|
|
Human писал(а): Как я и думал, в Зориче ситуация аналогичная. Хотя не, даже хуже: там такие интегралы вообще не упоминаются. В задачах к главе тоже подобных интегралов не нашёл. Зато Ваш интеграл и ещё один подобный, с логарифмом, нашёл в 3-ем томе сборника задач Кудрявцева: глава 3, [math]\S[/math]14, номера 8.2) и 8.3) соответственно. Интересно, как авторы предполагали их решать, если определения для них не то, что не сформулированы, но даже непонятно, как их ввести аналогично тому, как это было сделано для интегралов с фиксированной особенностью на верхнем пределе? Кто-нибудь из форумчан знает? А то ведь придётся идти к гениям на [math]dxdy[/math]. ![]() Вот как раз я в этом задачнике и взял этот номерок, ужасный номер, я над ним уже неделю парюсь. Преподаватель давал наводку замена переменной, но ничего хорошего я не придумал и не получил |
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
||
|
igorek писал(а): Преподаватель давал наводку замена переменной, В принципе можно так сделать: [math]\int\limits_0^1\frac{\sin\alpha x}{\sqrt{|x-\alpha|}}\,dx=\int\limits_0^{\alpha}\frac{\sin\alpha x}{\sqrt{\alpha-x}}\,dx+\int\limits_{\alpha}^1\frac{\sin\alpha x}{\sqrt{x-\alpha}}\,dx[/math] В первом интеграле можно сделать замену [math]x=\alpha t[/math]. Получится: [math]\int\limits_0^{\alpha}\frac{\sin\alpha x}{\sqrt{\alpha-x}}\,dx=\int\limits_0^1\frac{\sin\alpha^2 t}{\sqrt{1-t}}\sqrt{\alpha}\,dt.[/math] Во втором замена [math]x=(1-\alpha)t+\alpha[/math]: [math]\int\limits_{\alpha}^1\frac{\sin\alpha x}{\sqrt{x-\alpha}}\,dx=\int\limits_0^1\frac{\sin(\alpha(1-\alpha)t+\alpha^2)}{\sqrt t}\sqrt{1-\alpha}\,dt.[/math] Тогда интегралы станут нормальными: у первого особенность в единице, а у второго в нуле. Даже можно признаком Вейерштрасса воспользоваться. |
|||
| Вернуться к началу | |||
| За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: Alexdemath, igorek |
|||
| Human |
|
||
|
Но мне этот подход не нравится, поскольку при замене переменной равномерная сходимость может не сохраняться. Хотя...пожалуй, какая разница, всё равно для исходного интеграла непонятно определение равномерной сходимости. Может оно именно так для него и формулируется (то есть, заменой переменных перейти к "обычным" интегралам и судить о равномерной сходимости исходного интеграла по ним).
|
|||
| Вернуться к началу | |||
|
[ Сообщений: 9 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Криволинейный интеграл второго порядка(Интеграл работы)
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
274 |
06 июл 2022, 22:50 |
|
|
Неопределенный интеграл. скажите , как решать интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
707 |
18 янв 2015, 17:23 |
|
|
Неопределенный интеграл. скажите , как решать интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
824 |
18 янв 2015, 17:23 |
|
|
Определенный интеграл и несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
11 |
1024 |
14 апр 2015, 20:58 |
|
|
Вычислить интеграл, Кратный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
4 |
579 |
25 апр 2020, 15:39 |
|
|
Несобственный интеграл, двойной интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
8 |
620 |
16 апр 2017, 21:43 |
|
|
Интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
107 |
25 май 2020, 19:39 |
|
|
Интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
104 |
08 апр 2018, 16:32 |
|
|
Интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
5 |
215 |
20 май 2020, 14:38 |
|
|
Интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
389 |
11 фев 2019, 17:08 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |