Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Интеграл!!!
СообщениеДобавлено: 25 апр 2012, 18:30 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 апр 2012, 18:24
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Исследовать на равномерную сходимость интеграл на множестве [math]E[/math]

[math]\int\limits_{0}^{1}\frac{\sin\alpha x}{\sqrt{|x-\alpha|}}\,dx,\quad E=[0;1][/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл!!!
СообщениеДобавлено: 30 апр 2012, 14:08 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13564
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Объемный график подинтегральной функции, ряд Тейлора и неопределенный интеграл говорят о том, что имеется равномерная сходимость при любом [math]a[/math]

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл!!!
СообщениеДобавлено: 01 май 2012, 00:08 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Мне непонятно, как для такого интеграла вообще вводится понятие равномерной сходимости: у него особая точка зависит от [math]\alpha[/math], а известное мне определение равномерной сходимости предписывает этой точке быть одной и той же для всех [math]\alpha\in E[/math], чаще всего это один из пределов интегрирования. Так что этот момент хотелось бы у ТС уточнить, либо отправить меня к соответствующему определению, если оно существует.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл!!!
СообщениеДобавлено: 01 май 2012, 19:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 апр 2012, 18:24
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Мне непонятно, как для такого интеграла вообще вводится понятие равномерной сходимости: у него особая точка зависит от [math]\alpha[/math], а известное мне определение равномерной сходимости предписывает этой точке быть одной и той же для всех [math]\alpha\in E[/math], чаще всего это один из пределов интегрирования. Так что этот момент хотелось бы у ТС уточнить, либо отправить меня к соответствующему определению, если оно существует.

Открой учебник по математическому анализу(например, Зорича или Кудрявцева) и прочти главу "Несобственные интегралы зависящие от параметра".

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл!!!
СообщениеДобавлено: 01 май 2012, 19:33 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Тогда не могли бы Вы указать точно страницу в учебнике Кудрявцева (у меня издание 2003 года), где формулируется определение. Как я сказал ранее, я нашёл лишь стандартное определение для интегралов, у которых отрезок интегрирования не зависит от параметра. В данном случае он зависит, поскольку

[math]\int\limits_0^1\frac{\sin\alpha x}{\sqrt{|x-\alpha|}}\,dx=\int\limits_0^{\alpha}\frac{\sin\alpha x}{\sqrt{|x-\alpha|}}\,dx+\int\limits_{\alpha}^1\frac{\sin\alpha x}{\sqrt{|x-\alpha|}}\,dx[/math]

и точки [math]\alpha[/math] являются для интеграла особыми.

Всё, что я нашёл по поводу интеграла Вашего типа, - это абзац почти в самом конце 2-ого тома, в котором просто констатируется факт существования таких интегралов и что они называются потенциалами. Определение равномерной сходимости для них я не нашёл. Попробую поискать в Зориче.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл!!!
СообщениеДобавлено: 01 май 2012, 20:28 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как я и думал, в Зориче ситуация аналогичная. Хотя не, даже хуже: там такие интегралы вообще не упоминаются. В задачах к главе тоже подобных интегралов не нашёл.

Зато Ваш интеграл и ещё один подобный, с логарифмом, нашёл в 3-ем томе сборника задач Кудрявцева: глава 3, [math]\S[/math]14, номера 8.2) и 8.3) соответственно. Интересно, как авторы предполагали их решать, если определения для них не то, что не сформулированы, но даже непонятно, как их ввести аналогично тому, как это было сделано для интегралов с фиксированной особенностью на верхнем пределе?

Кто-нибудь из форумчан знает? А то ведь придётся идти к гениям на [math]dxdy[/math]. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл!!!
СообщениеДобавлено: 01 май 2012, 20:34 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 апр 2012, 18:24
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Как я и думал, в Зориче ситуация аналогичная. Хотя не, даже хуже: там такие интегралы вообще не упоминаются. В задачах к главе тоже подобных интегралов не нашёл.

Зато Ваш интеграл и ещё один подобный, с логарифмом, нашёл в 3-ем томе сборника задач Кудрявцева: глава 3, [math]\S[/math]14, номера 8.2) и 8.3) соответственно. Интересно, как авторы предполагали их решать, если определения для них не то, что не сформулированы, но даже непонятно, как их ввести аналогично тому, как это было сделано для интегралов с фиксированной особенностью на верхнем пределе?

Кто-нибудь из форумчан знает? А то ведь придётся идти к гениям на [math]dxdy[/math]. :)

Вот как раз я в этом задачнике и взял этот номерок, ужасный номер, я над ним уже неделю парюсь. Преподаватель давал наводку замена переменной, но ничего хорошего я не придумал и не получил

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл!!!
СообщениеДобавлено: 01 май 2012, 20:58 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
igorek писал(а):
Преподаватель давал наводку замена переменной,

В принципе можно так сделать:

[math]\int\limits_0^1\frac{\sin\alpha x}{\sqrt{|x-\alpha|}}\,dx=\int\limits_0^{\alpha}\frac{\sin\alpha x}{\sqrt{\alpha-x}}\,dx+\int\limits_{\alpha}^1\frac{\sin\alpha x}{\sqrt{x-\alpha}}\,dx[/math]

В первом интеграле можно сделать замену [math]x=\alpha t[/math]. Получится:

[math]\int\limits_0^{\alpha}\frac{\sin\alpha x}{\sqrt{\alpha-x}}\,dx=\int\limits_0^1\frac{\sin\alpha^2 t}{\sqrt{1-t}}\sqrt{\alpha}\,dt.[/math]

Во втором замена [math]x=(1-\alpha)t+\alpha[/math]:

[math]\int\limits_{\alpha}^1\frac{\sin\alpha x}{\sqrt{x-\alpha}}\,dx=\int\limits_0^1\frac{\sin(\alpha(1-\alpha)t+\alpha^2)}{\sqrt t}\sqrt{1-\alpha}\,dt.[/math]

Тогда интегралы станут нормальными: у первого особенность в единице, а у второго в нуле. Даже можно признаком Вейерштрасса воспользоваться.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Alexdemath, igorek
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл!!!
СообщениеДобавлено: 01 май 2012, 21:08 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Но мне этот подход не нравится, поскольку при замене переменной равномерная сходимость может не сохраняться. Хотя...пожалуй, какая разница, всё равно для исходного интеграла непонятно определение равномерной сходимости. Может оно именно так для него и формулируется (то есть, заменой переменных перейти к "обычным" интегралам и судить о равномерной сходимости исходного интеграла по ним).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Криволинейный интеграл второго порядка(Интеграл работы)

в форуме Интегральное исчисление

Mephisto

3

274

06 июл 2022, 22:50

Неопределенный интеграл. скажите , как решать интеграл

в форуме Интегральное исчисление

natalee

3

707

18 янв 2015, 17:23

Неопределенный интеграл. скажите , как решать интеграл

в форуме Интегральное исчисление

natalee

1

824

18 янв 2015, 17:23

Определенный интеграл и несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

VxVxN

11

1024

14 апр 2015, 20:58

Вычислить интеграл, Кратный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

PUFFIN

4

579

25 апр 2020, 15:39

Несобственный интеграл, двойной интеграл

в форуме Интегральное исчисление

alexmilki

8

620

16 апр 2017, 21:43

Интеграл

в форуме Интегральное исчисление

ilmir254

1

107

25 май 2020, 19:39

Интеграл

в форуме Интегральное исчисление

nazik

1

104

08 апр 2018, 16:32

Интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Alexand

5

215

20 май 2020, 14:38

Интеграл

в форуме Интегральное исчисление

jagdish

2

389

11 фев 2019, 17:08


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved