Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Indefinite Integral
СообщениеДобавлено: 22 апр 2012, 21:56 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
12 дек 2010, 20:32
Сообщений: 544
Cпасибо сказано: 306
Спасибо получено:
28 раз в 23 сообщениях
Очков репутации: 7

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\displaystyle \int \frac{x^3-2}{\sqrt{(x^3+1)^2}}dx[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Indefinite Integral
СообщениеДобавлено: 22 апр 2012, 22:33 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1889
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 276
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\begin{gathered} \int {\frac{{{x^3} - 2}}{{\sqrt {{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^2}} }}dx} = \int {\frac{{{x^3} - 2}}{{\left| {{x^3} + 1} \right|}}dx} = \int {\operatorname{sign} \left( {x + 1} \right)} \frac{{{x^3} - 2}}{{{x^3} + 1}}dx = \operatorname{sign} \left( {x + 1} \right)\int {\left( {1 - \frac{3}{{{x^3} + 1}}} \right)dx} = ... \hfill \\ \end{gathered}[/math]

P.S.
[math]\operatorname{sign} \left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} 1,x > 0 \hfill \\ 0,x = 0 \hfill \\ - 1,x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
jagdish
 Заголовок сообщения: Re: Indefinite Integral
СообщениеДобавлено: 23 апр 2012, 04:58 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
12 дек 2010, 20:32
Сообщений: 544
Cпасибо сказано: 306
Спасибо получено:
28 раз в 23 сообщениях
Очков репутации: 7

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
thanks arjoma,actually original question is

[math]\displaystyle \int \frac{x^3-2}{\sqrt{(x^3+1)^3}}dx[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Indefinite Integral
СообщениеДобавлено: 23 апр 2012, 08:46 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
The answer is found by accident.
The solution is based on the identity
[math]\int {\frac{{x^3 - 2}}{{\sqrt {\left( {x^3 + 1} \right)^3 } }}dx} = \frac{{P\left( x \right)}}{{\sqrt {x^3 + 1} }} + C[/math]
[math]P\left( x \right)[/math] - polynomial of degree 1
The answer
[math]\frac{{ - 2x}}{{\sqrt {x^3 + 1} }} + C[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
jagdish
 Заголовок сообщения: Re: Indefinite Integral
СообщениеДобавлено: 23 апр 2012, 09:13 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
12 дек 2010, 20:32
Сообщений: 544
Cпасибо сказано: 306
Спасибо получено:
28 раз в 23 сообщениях
Очков репутации: 7

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Thanks Prokop very Nice solution.

any other Method.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Indefinite Integral
СообщениеДобавлено: 23 апр 2012, 10:43 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Another method is based on the theory of binomial differentials
[math]J_{p,q} = \int {\left( {a + bt} \right)^p t^q dt}[/math]
There is equality
[math]J_{p,q} = \frac{{\left( {a + bt} \right)^{p + 1} t^{q + 1} }}{{a\left( {q + 1} \right)}} - b\frac{{p + q + 2}}{{a\left( {q + 1} \right)}}J_{p,q + 1}[/math]
Your integral is equal to
[math]I=\int {\frac{{x^3 - 2}}{{\sqrt {\left( {x^3 + 1} \right)^3 } }}dx}= \left\{ {x^3 = t} \right\} = \frac{1}{3}\left( {J_{ - \frac{3}{2},\frac{1}{3}} - 2J_{ - \frac{3}{2}, - \frac{2}{3}} } \right)[/math]
here
[math]J_{p,q} = \int {\left( {1 + t} \right)^p t^q dt}[/math]
Further
[math]J_{ - \frac{3}{2}, - \frac{2}{3}}= \frac{{\left({1 + t} \right)^{ - \frac{1}{2}} t^{\frac{1}{3}} }}{{\frac{1}{3}}} - \frac{{ - \frac{3}{2} - \frac{2}{3} + 2}}{{\frac{1}{3}}}J_{ - \frac{3}{2},\frac{1}{3}}[/math]
Therefore
[math]I = \frac{{ - 2x}}{{\sqrt {x^3 + 1} }} + C[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
jagdish
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Integral

в форуме Интегральное исчисление

jagdish

1

232

10 фев 2018, 17:14

Integral

в форуме Интегральное исчисление

jagdish

2

297

14 май 2018, 22:28

Разложить в ряд f(x)= integral(0 to x)(arcsin(t)/t*dt), x0=0

в форуме Ряды

petkosser

4

563

08 дек 2015, 18:53

Product Integral. Статья на русском

в форуме Литература и Онлайн-ресурсы по математике

Kouler

0

300

24 апр 2020, 07:32


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved