Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| serg_miren |
|
|
|
|
int[0, 2П] sin^2(x/4)*cos^8(x/4)dx |
|
| Вернуться к началу | ||
| Avgust |
|
|
|
Самое простое, - избавиться от степеней. Это такая цепочка:
[math]\sin^2(t) \cdot \cos^8(t) \to \cos^8(t)-\cos^{10}(t)[/math] Причем: [math]\cos^8(t)=\frac{1}{128}[56 \cos(2t)+28 \cos(4t)+8 \cos(6t)+\cos(8t)+35][/math] [math]\cos^{10}(t)=\frac{1}{512}[210 \cos(2t)+120 \cos(4t)+45 \cos(6t)+10 \cos(8t)+\cos(10t)+126][/math] Интегралы взять от этих косинусов - очень просто. Вместо t ставите x/4 Писанины много, но зато без особых напряжений. Есть, конечно, и менее трудоемкие методы интегрирования. Наверное, здесь кто-то предложит. |
||
| Вернуться к началу | ||
| serg_miren |
|
|
|
|
После всех плясок получается такое выражение:
1/128(56+0-8+0+35П) - 1/512(210+0-45+0+1+126П) = 48/128+35П/128-166/512-126П/512 = 26/512-14П/512 Надеюсь, ты со мной согласишься ![]() |
|
| Вернуться к началу | ||
| serg_miren |
|
|
|
|
?
|
|
| Вернуться к началу | ||
| Avgust |
|
|
|
Я получил [math]\frac{7 \pi}{128}[/math]
Кто-то из нас переплясал. Возможно мы оба. Проверьте исходный интеграл на Вольфраме. Но я прав, поскольку [math]\int \limits _{0}^{2\pi} \bigg (\frac{35}{128}-\frac{126}{512} \bigg ) dx=\frac{35 \cdot 2 \pi}{128}-\frac{126 \cdot 2 \pi}{512}=\frac{7\pi}{128}[/math] а все косинусы обнуляются при четных b и указанных пределах, ибо: [math]\int a \cos(bx)dx= \frac {a}{b}\sin(bx) +C[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| erjoma |
|
|
|
[math]\begin{aligned} \int\limits_0^{2\pi } {{{\sin }^2}\left( {\frac{x}{4}} \right){{\cos }^8}\left( {\frac{x}{4}} \right)dx} & = \left( \begin{gathered} t = \frac{x}{4} \hfill \\ 4dt = dx \hfill \\ \end{gathered} \right) = 4\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}t{{\cos }^8}tdt} = 2{\rm B}\left( {\frac{3}{2};\frac{9}{2}} \right) = \\[2pt] & = 2\frac{{\Gamma \left( {\frac{3}{2}} \right)\Gamma \left( {\frac{9}{2}} \right)}}{{\Gamma \left( 6 \right)}} = 2\frac{{\frac{1}{2}\sqrt \pi \frac{7}{2}\frac{5}{2}\frac{3}{2}\frac{1}{2}\sqrt \pi }}{{5!}} = \frac{7}{{128}}\pi \end{aligned}[/math]
|
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали: Avgust |
||
| Avgust |
|
|
|
Крутой метод!
|
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 7 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
| Найти тригонометрический интеграл Фурье | 6 |
613 |
09 янв 2021, 14:10 |
|
| Вычислить определенный и не определенный интеграл | 1 |
443 |
05 май 2015, 16:57 |
|
|
Определенный интеграл и несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
11 |
1024 |
14 апр 2015, 20:58 |
|
|
Определённый интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
419 |
04 май 2015, 19:26 |
|
|
Определенный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
5 |
328 |
23 фев 2016, 15:07 |
|
|
Определенный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
413 |
20 апр 2015, 10:39 |
|
|
Определенный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
4 |
244 |
10 ноя 2019, 22:14 |
|
|
Определенный интеграл
в форуме Алгебра |
1 |
298 |
11 фев 2016, 17:45 |
|
|
Определенный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
276 |
09 янв 2017, 23:23 |
|
|
Определенный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
6 |
153 |
13 апр 2019, 16:42 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: Yandex [bot] и гости: 6 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |