Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Определенный интеграл (тригонометрический)
СообщениеДобавлено: 22 апр 2012, 12:56 
Не могу совладать с таким интегралом:

int[0, 2П] sin^2(x/4)*cos^8(x/4)dx

Вернуться к началу
  
 
 Заголовок сообщения: Re: Определенный интеграл (тригонометрический)
СообщениеДобавлено: 22 апр 2012, 20:42 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13564
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Самое простое, - избавиться от степеней. Это такая цепочка:

[math]\sin^2(t) \cdot \cos^8(t) \to \cos^8(t)-\cos^{10}(t)[/math]

Причем:
[math]\cos^8(t)=\frac{1}{128}[56 \cos(2t)+28 \cos(4t)+8 \cos(6t)+\cos(8t)+35][/math]

[math]\cos^{10}(t)=\frac{1}{512}[210 \cos(2t)+120 \cos(4t)+45 \cos(6t)+10 \cos(8t)+\cos(10t)+126][/math]

Интегралы взять от этих косинусов - очень просто. Вместо t ставите x/4
Писанины много, но зато без особых напряжений.

Есть, конечно, и менее трудоемкие методы интегрирования. Наверное, здесь кто-то предложит.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определенный интеграл (тригонометрический)
СообщениеДобавлено: 23 апр 2012, 11:33 
После всех плясок получается такое выражение:

1/128(56+0-8+0+35П) - 1/512(210+0-45+0+1+126П) = 48/128+35П/128-166/512-126П/512 = 26/512-14П/512

Надеюсь, ты со мной согласишься :)

Вернуться к началу
  
 
 Заголовок сообщения: Re: Определенный интеграл (тригонометрический)
СообщениеДобавлено: 24 апр 2012, 08:10 
?

Вернуться к началу
  
 
 Заголовок сообщения: Re: Определенный интеграл (тригонометрический)
СообщениеДобавлено: 24 апр 2012, 09:02 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13564
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я получил [math]\frac{7 \pi}{128}[/math]

Кто-то из нас переплясал. Возможно мы оба. Проверьте исходный интеграл на Вольфраме.

Но я прав, поскольку [math]\int \limits _{0}^{2\pi} \bigg (\frac{35}{128}-\frac{126}{512} \bigg ) dx=\frac{35 \cdot 2 \pi}{128}-\frac{126 \cdot 2 \pi}{512}=\frac{7\pi}{128}[/math]

а все косинусы обнуляются при четных b и указанных пределах, ибо:

[math]\int a \cos(bx)dx= \frac {a}{b}\sin(bx) +C[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определенный интеграл (тригонометрический)
СообщениеДобавлено: 24 апр 2012, 10:20 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1889
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 276
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\begin{aligned} \int\limits_0^{2\pi } {{{\sin }^2}\left( {\frac{x}{4}} \right){{\cos }^8}\left( {\frac{x}{4}} \right)dx} & = \left( \begin{gathered} t = \frac{x}{4} \hfill \\ 4dt = dx \hfill \\ \end{gathered} \right) = 4\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}t{{\cos }^8}tdt} = 2{\rm B}\left( {\frac{3}{2};\frac{9}{2}} \right) = \\[2pt] & = 2\frac{{\Gamma \left( {\frac{3}{2}} \right)\Gamma \left( {\frac{9}{2}} \right)}}{{\Gamma \left( 6 \right)}} = 2\frac{{\frac{1}{2}\sqrt \pi \frac{7}{2}\frac{5}{2}\frac{3}{2}\frac{1}{2}\sqrt \pi }}{{5!}} = \frac{7}{{128}}\pi \end{aligned}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
Avgust
 Заголовок сообщения: Re: Определенный интеграл (тригонометрический)
СообщениеДобавлено: 24 апр 2012, 13:35 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13564
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Крутой метод!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти тригонометрический интеграл Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Jackoe89

6

613

09 янв 2021, 14:10

Вычислить определенный и не определенный интеграл

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Kikfas

1

443

05 май 2015, 16:57

Определенный интеграл и несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

VxVxN

11

1024

14 апр 2015, 20:58

Определённый интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Potolol

1

419

04 май 2015, 19:26

Определенный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Olga1975

5

328

23 фев 2016, 15:07

Определенный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

romanova

1

413

20 апр 2015, 10:39

Определенный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

morozoff

4

244

10 ноя 2019, 22:14

Определенный интеграл

в форуме Алгебра

Olga1975

1

298

11 фев 2016, 17:45

Определенный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

AlinaFak-va

1

276

09 янв 2017, 23:23

Определенный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

karacha

6

153

13 апр 2019, 16:42


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Yandex [bot] и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved