Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Площадь части сферы
СообщениеДобавлено: 18 апр 2012, 15:43 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
20 апр 2011, 20:15
Сообщений: 462
Cпасибо сказано: 212
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый День!!! :) Помогите Пожалуйста найти площадь части сферы [math]x^2+y^2+z^2=2a^2[/math], заключенной внутри конуса [math]x^2+y^2=z^2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь части сферы
СообщениеДобавлено: 18 апр 2012, 22:22 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Считайте для верхней полусферы, а результат умножьте на 2.

[math]\begin{gathered}D_{xy}= \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon x^2+y^2\leqslant a^2\right\} \hfill \\z = \sqrt {2{a^2} - {x^2} - {y^2}} \hfill \\z'_x= \frac{x}{{\sqrt {2{a^2} - {x^2} - {y^2}} }},\quad z'_y = \frac{{ - y}}{{\sqrt {2{a^2} - {x^2} - {y^2}} }} \hfill \\{z'_x}^2 = \frac{{{x^2}}}{{2{a^2} - {x^2} - {y^2}}},\quad {z'_y}^2 = \frac{{{y^2}}}{{2{a^2} - {x^2} - {y^2}}} \hfill \\ds = \sqrt {1 + {z'_x}^2 + {z'_y}^2}\,dxdy = \sqrt {1 + \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{2{a^2} - {x^2} - {y^2}}}}\,dxdy = \frac{{\sqrt 2 a\,dxdy}}{{\sqrt {2{a^2} - {x^2} - {y^2}} }} \hfill \end{gathered}[/math]

Теперь нужно вспомнить стандартную формулу:

[math]\begin{aligned}\frac{S}{2}&= \iint\limits_{D_{xy}}ds= \sqrt 2 a\iint\limits_{x^2+y^2\leqslant a^2} \frac{dxdy}{\sqrt {2a^2-x^2-y^2}} = \left\{ \begin{gathered}x = r\cos \varphi , \hfill \\ y = r\sin \varphi \hfill \\ \end{gathered} \right\} = \sqrt 2 a\int\limits_0^{2\pi }d\varphi \int\limits_0^a {\frac{r\,dr}{{\sqrt {2{a^2} - {r^2}} }}} = \\ &= -\pi \sqrt 2 a\int\limits_0^a (2a^2-r^2)^{-1/2}d(2a^2-r^2)= \left. { - \pi \sqrt 2 a\frac{{{{(2{a^2} - {r^2})}^{1 - 1/2}}}}{{1 - 1/2}}} \right|_{r=0}^{r=a}=\\ &= -2\pi \sqrt 2 a\left( {\sqrt {2{a^2} - {a^2}} - \sqrt {2{a^2}} } \right) = - 2\pi \sqrt 2 a\bigl(a - \sqrt 2 a\bigr) = 2\pi \bigl(2 - \sqrt2\bigr){a^2} \\ &\boxed{S = 4\pi\bigl(2 - \sqrt 2\bigr){a^2}} \end{aligned}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
Merhaba
 Заголовок сообщения: Re: Площадь части сферы
СообщениеДобавлено: 11 май 2012, 23:48 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
20 апр 2011, 20:15
Сообщений: 462
Cпасибо сказано: 212
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath
Помогите Пожалуйста построить чертёж :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычислить площадь части сферы

в форуме Интегральное исчисление

BlackBird

1

567

24 май 2015, 13:58

Найти площадь части сферы

в форуме Интегральное исчисление

jones1910

7

254

09 июн 2020, 08:18

Вычислить площадь части поверхности сферы

в форуме Интегральное исчисление

Student_01

2

211

14 дек 2023, 20:37

Площадь части цилиндра, расположенной внутри сферы

в форуме Интегральное исчисление

SanGreen

1

756

01 май 2017, 16:35

Вычислить массу части поверхности сферы

в форуме Интегральное исчисление

Vital_Orsha

6

610

09 дек 2018, 16:33

Вычислите массу, распределенную на части поверхности сферы

в форуме Интегральное исчисление

studentzo

2

338

16 янв 2021, 16:07

Кривая делит круг на части. Найти площадь наибольшей части

в форуме Интегральное исчисление

Yece

4

246

27 дек 2020, 00:00

Площадь части окружности

в форуме Геометрия

Do_you_watch_co

8

373

21 фев 2019, 23:04

Площадь части поверхности

в форуме Интегральное исчисление

Olenka_S

1

607

23 апр 2016, 19:22

Площадь части конуса

в форуме Интегральное исчисление

Relanium1965

16

325

04 мар 2023, 15:26


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved