Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Площадь фигуры, заданной параметрически
СообщениеДобавлено: 07 апр 2012, 06:21 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 фев 2012, 14:53
Сообщений: 30
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите, пожалуйста, с решением.
[math]x=8*(cost)^3[/math]
[math]y=4*(sint)^3[/math]
[math]x=3*sqrt(3)[/math], [math]x>=3*sqrt(3)[/math]

Как я понял, надо вычислить площадь кусочка астроиды. Вот график, построенный в вольфраме: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... int%29%5E3
Также я прикрепляю фото, где я начал решение. Проблема в том, что я опять же не знаю, как решить интеграл.
Надеюсь на вашу помощь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь фигуры, заданной параметрически
СообщениеДобавлено: 07 апр 2012, 11:30 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13564
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если идти самым сложным путем, то так:

[math]S=2 \int \limits_{3\sqrt{3}}^8 \frac{1}{2} \bigg ( 4-x^{2/3}\bigg )^{3/2}dx = 12 arcsin \bigg (\frac{1}{2}x^{1/3} \bigg )-\frac{1}{2}\bigg (4-x^{2/3} \bigg )^{1/2}\bigg (x^{5/3} -7x+6x^{1/3}\bigg ) \bigg |_{3\sqrt{3}}^{8}= 2 \pi - 3\sqrt{3} \approx 1.087[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
doomer74
 Заголовок сообщения: Re: Площадь фигуры, заданной параметрически
СообщениеДобавлено: 07 апр 2012, 12:22 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 фев 2012, 14:53
Сообщений: 30
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
можете, пожалуйста, пояснить, как ввы нашли интеграл, особкнно его пределы? в таком случае мой рисунок не подходит? об

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь фигуры, заданной параметрически
СообщениеДобавлено: 07 апр 2012, 13:25 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]S =2\int\limits_{3\sqrt 3 }^8 {ydx}= \left\{ {\begin{array}{*{20}c}{x= 8\cos ^3 t} \\{y = 4\sin ^3 t}\\ \end{array} } \right\} = 192\int\limits_0^{\pi /6} {\sin ^4 t\cos ^2 tdt} = 24\int\limits_0^{\pi /6} {\left( {1 - \cos 2t} \right)^2 \left( {1 + \cos 2t} \right)dt} = \ldots[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
doomer74
 Заголовок сообщения: Re: Площадь фигуры, заданной параметрически
СообщениеДобавлено: 07 апр 2012, 13:44 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13564
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я воспользовался Вашим листочком: там пределы вычислены. три корней из трех и 8
Что касается подинтегральной функции, то это известная формула для астроиды в декартовой системе координат. Ну а уж интеграл этот, по-моему, должен первокурсник уметь брать.

Люблю упражняться с интегралами. Например, еще более общий случай получил:

[math]\int (a-x^{2/3})^{3/2}dx=\frac{3a^3}{16} arctg \bigg ( \frac{x^{1/3}}{\sqrt{a-x^{2/3}}}\bigg )+\frac{\sqrt{a-x^{2/3}}}{16}(14ax-3a^2x^{1/3}-8x^{5/3})+C[/math]

Можете и этой формулой воспользоваться.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
doomer74
 Заголовок сообщения: Re: Площадь фигуры, заданной параметрически
СообщениеДобавлено: 07 апр 2012, 16:03 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 фев 2012, 14:53
Сообщений: 30
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
а пределы интегрирования на листочке я неверно нашел (решая неравенство)? я окончательно запутался :( распишите, пожалуйста, подробно Ваше решение.
а если я хочу проинтегрировать по формуле интеграл от t1 до t2 от (y(t) * x'(t)), то как мне сделать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь фигуры, заданной параметрически
СообщениеДобавлено: 07 апр 2012, 17:12 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13564
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как это неверно, если у Вас в условии записано, что x больше-равно три корня из трех?
А восьмерка получается из свойства уравнения. При x>8 - комплексная область.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь фигуры, заданной параметрически
СообщениеДобавлено: 08 апр 2012, 11:20 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 фев 2012, 14:53
Сообщений: 30
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Если идти самым сложным путем, то так:

[math]S=2 \int \limits_{3\sqrt{3}}^8 \frac{1}{2} \bigg ( 4-x^{2/3}\bigg )^{3/2}dx = 12 arcsin \bigg (\frac{1}{2}x^{1/3} \bigg )-\frac{1}{2}\bigg (4-x^{2/3} \bigg )^{1/2}\bigg (x^{5/3} -7x+6x^{1/3}\bigg ) \bigg |_{3\sqrt{3}}^{8}= 2 \pi - 3\sqrt{3} \approx 1.087[/math]


Тогда у меня есть ещё несколько вопросов. Почему перед интегралом стоит коэффициент 2 ? По пределы интегрирования я вроде понял.
Насчет подыинтегрального выражения. Вы вместо параметрической формы записи использовали уравнение в декартовых прямоугольных координатах? [math]x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}[/math]
В таком случае можете, пожалуйста, объяснить, как пришли к такому выражению ( я имею в виду, почему получилось так:[math](1/2)*( 4-x^{2/3})^{3/2}[/math]? Какая формула была использована?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь фигуры, заданной параметрически
СообщениеДобавлено: 09 апр 2012, 14:48 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 фев 2012, 14:53
Сообщений: 30
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Поднимаю тему. Ответьте, пожалуйста, на предыдущее сообщение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти площадь фигуры, заданной параметрически

в форуме Интегральное исчисление

alex-rudenkiy

3

408

01 май 2018, 22:27

Площадь, ограниченная кривой, заданной параметрически

в форуме Интегральное исчисление

DanKor98

2

264

25 дек 2017, 13:00

Площадь фигуры Задана параметрически

в форуме Интегральное исчисление

Ryslannn

2

267

21 май 2017, 11:26

Площадь фигуры заданной параметрическими уравнениями

в форуме Интегральное исчисление

Araik

1

213

20 апр 2019, 15:46

Найти площадь фигуры, заданной неравенством

в форуме Интегральное исчисление

zvezdochka

6

576

19 сен 2024, 13:26

Площадь фигуры, заданной в полярной системе координат

в форуме Интегральное исчисление

Ola-la

1

436

11 дек 2014, 17:49

Площадь фигуры, ограниченной петлей заданной кривой

в форуме Интегральное исчисление

abakumovs

1

307

07 дек 2019, 14:30

Найти площадь фигуры заданной как х=у2 есть начало и запутал

в форуме Интегральное исчисление

gail-ul

6

361

26 ноя 2016, 16:37

Найти dy/dx и d^2y/dx^2 функции, заданной параметрически

в форуме Дифференциальное исчисление

Roccat526

1

529

22 янв 2017, 08:12

Интегрирование параметрически заданной функции

в форуме Интегральное исчисление

bagel

0

582

28 янв 2015, 17:07


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved