Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычислить объёмчик
СообщениеДобавлено: 05 апр 2012, 19:07 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
22 янв 2012, 12:44
Сообщений: 611
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Подскажите с решением задачи:
Вычислить объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями:
Изображение

Правильно или нет я нахожу объём:

Изображение

Ой,извините,не то вставила: вот так:Изображение
Ответ: V=Pi-24
Правильно?

Подскажите, пожалуйста. кто знает!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить объёмчик
СообщениеДобавлено: 08 апр 2012, 15:02 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
EEEVVVA, сначала преобразуйте уравнение цилиндра к каноническому виду

[math]{x^2} + {y^2} = 2\sqrt 2 y~~ \Leftrightarrow~~ {x^2} + {y^2} - 2\sqrt 2 y + 2 = 2~~ \Leftrightarrow~~ {x^2} + {(y - \sqrt 2 )^2} = {(\sqrt 2 )^2}[/math]

Следовательно, проекцией тела на координатную плоскость [math]Oxy[/math] является круг радиуса [math]\sqrt{2}[/math] с центром в точке [math](0;\sqrt{2})[/math].

Теперь запишите множество точек, ограниченных данными поверхностями, в виде неравенств и перейдите в цилиндрическую систему координат:

[math]T = \left\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3\colon\, {x^2} + {{(y - \sqrt 2 )}^2} \leqslant {{(\sqrt 2 )}^2},~0 \leqslant z \leqslant 16 - {x^2} - {y^2}\right\}[/math]

[math]\left\{ \begin{gathered}x = r\cos \varphi , \hfill \\ y - \sqrt 2 = r\sin \varphi , \hfill \\z = z, \hfill \\ \end{gathered} \right.~~\Rightarrow~~ |J| = r[/math]

[math]\begin{aligned}z&= 16 - {x^2} - {y^2} = 16 - {r^2}{\cos ^2}\varphi - {(\sqrt 2 + r\sin \varphi )^2} = \\ &= 16 - {r^2}{\cos ^2}\varphi - (2 - 2\sqrt 2 r\sin \varphi + {r^2}{\sin ^2}\varphi ) = 14 + 2\sqrt 2 r\sin \varphi - {r^2} \end{aligned}[/math]

[math]T^{\ast}= \left\{(r,\varphi,z)\in\mathbb{R}^3\colon\, 0\leqslant r\leqslant\sqrt2,~0 \leqslant\varphi\leqslant2\pi,~0 \leqslant z \leqslant 14 + 2\sqrt 2 r\sin \varphi-r^2 \right\}[/math]

[math]\begin{aligned}V&= \iiint\limits_{T} dx\,dy\,dz= \iiint\limits_{T^{\ast}}|J|\,dr\,d\varphi\,dz= \int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_0^{\sqrt 2 } {rdr} \int\limits_0^{14 + 2\sqrt 2 r\sin \varphi - {r^2}}dz=\\ &= \int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_0^{\sqrt 2 }\Bigl(14r + 2\sqrt 2 r^2\sin \varphi-r^3\Bigr)dr= \int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \left. {\left( {7{r^2} + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}{r^3}\sin \varphi - \frac{{{r^4}}}{4}} \right)} \right|_0^{\sqrt2}=\\ &= \int\limits_0^{2\pi }\!\left(7 \cdot 2 + \frac{2\sqrt 2}{3}{{(\sqrt 2 )}^3}\sin \varphi - \frac{4}{4}\right)\!d\varphi= \int\limits_0^{2\pi } {\left( {13 + \frac{8}{3}\sin \varphi } \right)\!d\varphi=\\ &= \left. {\left( {13\varphi - \frac{8}{3}\cos \varphi } \right)}\right|_0^{2\pi } = 26\pi - \frac{8}{3} - \left( {0 - \frac{8}{3}} \right) = 26\pi \end{aligned}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить объёмчик
СообщениеДобавлено: 08 апр 2012, 16:12 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
22 янв 2012, 12:44
Сообщений: 611
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я делала по аналогии вот с этим заданием: http://www.kvadromir.com/kuznec/kratn/11.22.jpg
Разве я не так взяла интеграл?

Изображение

И почему когда Вы открываете квадрат (z=.....) получается: (2 - 2sqrt(2)rsin(ф)+r^2sin(ф)^2), разве должно быть не так: (2 + 2sqrt(2)rsin(ф)+r^2sin(ф)^2) ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить объёмчик
СообщениеДобавлено: 09 апр 2012, 00:31 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
EEEVVVA писал(а):
И почему когда Вы открываете квадрат (z=.....) получается: (2 - 2sqrt(2)rsin(ф)+r^2sin(ф)^2), разве должно быть не так: (2 + 2sqrt(2)rsin(ф)+r^2sin(ф)^2) ?

Вы правы, конечно же. Опечатка :oops:

Пересчитайте, ответ должен получится такой же.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить объёмчик
СообщениеДобавлено: 09 апр 2012, 01:04 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
22 янв 2012, 12:44
Сообщений: 611
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Хорошо)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычислить s(w)

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

aleksandrannn

0

283

25 дек 2014, 14:05

Вычислить

в форуме Теория вероятностей

photographer

5

346

23 фев 2015, 10:18

Вычислить

в форуме Интегральное исчисление

Flowerydesk

1

440

02 июн 2015, 23:30

Вычислить

в форуме Алгебра

shifo

3

386

19 фев 2018, 17:26

Вычислить

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Narsky

5

326

19 ноя 2016, 19:04

Вычислить

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

youi

5

341

30 сен 2016, 09:53

Вычислить

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

tallev

3

452

27 сен 2015, 22:04

Вычислить

в форуме Алгебра

Germanhart

1

276

22 дек 2014, 19:04

Вычислить

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

kicultanya

3

215

12 апр 2017, 15:33

Вычислить

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

kicultanya

1

281

23 апр 2017, 16:40


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved