Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Хитрый Интеграл
СообщениеДобавлено: 03 апр 2012, 22:10 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 дек 2011, 08:50
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый вечер, помогите пожалуйста решить интеграл, я уже голову сломал, не получается(

Вложения:
Комментарий к файлу: 1958 задача из демидовича
.jpg
.jpg [ 9.53 Кб | Просмотров: 447 ]
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Хитрый Интеграл
СообщениеДобавлено: 03 апр 2012, 22:18 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сделайте замену [math]x=tg(y)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Хитрый Интеграл
СообщениеДобавлено: 03 апр 2012, 22:22 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
08 янв 2012, 21:42
Сообщений: 275
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
82 раз в 64 сообщениях
Очков репутации: 54

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно подстановкой Эйлера воспользоваться: [math]\sqrt{x^2+1} = x + t[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Хитрый Интеграл
СообщениеДобавлено: 03 апр 2012, 22:25 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 дек 2011, 08:50
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Простите, не то условие скопировал(они похожи)
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Хитрый Интеграл
СообщениеДобавлено: 03 апр 2012, 22:41 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
08 янв 2012, 21:42
Сообщений: 275
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
82 раз в 64 сообщениях
Очков репутации: 54

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно попробовать [math]\sqrt{x^2-1} = x + t[/math]. Только вычисления, наверное, достаточно сложные будут... но зато будет интеграл рациональной функции.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю AV_77 "Спасибо" сказали:
Nice
 Заголовок сообщения: Re: Хитрый Интеграл
СообщениеДобавлено: 03 апр 2012, 23:01 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 дек 2011, 08:50
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Может быть еще как-то можно?
Я не понимаю как заменять

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Хитрый Интеграл
СообщениеДобавлено: 03 апр 2012, 23:17 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По-простому тут точно никак. Попробуйте ещё замену [math]x=\frac12\left(t+\frac1t\right)[/math]. Тогда корень уйдёт:
[math]\sqrt{x^2-1}=\frac12\left(t-\frac1t\right).[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Nice
 Заголовок сообщения: Re: Хитрый Интеграл
СообщениеДобавлено: 03 апр 2012, 23:17 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я бы так рационализировал интеграл

[math]\begin{aligned}\int {\frac{{dx}}{{({x^2} + 1)\sqrt {{x^2} - 1} }}}&= \int {\frac{{{x^{ - 3}}dx}}{{(1 + {x^{ - 2}})\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} }}} = \left\{ \begin{gathered}\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} = t, \hfill \\ 1 + {x^{ - 2}} = 2 - {t^2}, \hfill \\ x^{-3}\,dx = t\,dt \hfill \\ \end{gathered} \right\} = \int {\frac{{dt}}{{2 - {t^2}}}} = \\ &= \frac{{\sqrt 2 }}{4}\ln \left| {\frac{{t + \sqrt 2 }}{{t - \sqrt 2 }}} \right| + C = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\ln \left| {\frac{{\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} + \sqrt 2 }}{{\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} - \sqrt 2 }}} \right| + C = \\ &= \frac{{\sqrt 2 }}{4}\ln \left| {\frac{{\sqrt {{x^2} - 1} + \sqrt 2 x}}{{\sqrt {{x^2} - 1} - \sqrt 2 x}}} \right| + C \end{aligned}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
Nice
 Заголовок сообщения: Re: Хитрый Интеграл
СообщениеДобавлено: 04 апр 2012, 03:50 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13564
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Еще проще замена
[math]x=\frac{1}{\cos(t)}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Nice
 Заголовок сообщения: Re: Хитрый Интеграл
СообщениеДобавлено: 04 апр 2012, 12:06 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 дек 2011, 08:50
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath писал(а):
Я бы так рационализировал интеграл

[math]\begin{aligned}\int {\frac{{dx}}{{({x^2} + 1)\sqrt {{x^2} - 1} }}}&= \int {\frac{{{x^{ - 3}}dx}}{{(1 + {x^{ - 2}})\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} }}} = \left\{ \begin{gathered}\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} = t, \hfill \\ 1 + {x^{ - 2}} = 2 - {t^2}, \hfill \\ x^{-3}\,dx = t\,dt \hfill \\ \end{gathered} \right\} = \int {\frac{{dt}}{{2 - {t^2}}}} = \\ &= \frac{{\sqrt 2 }}{4}\ln \left| {\frac{{t + \sqrt 2 }}{{t - \sqrt 2 }}} \right| + C = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\ln \left| {\frac{{\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} + \sqrt 2 }}{{\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} - \sqrt 2 }}} \right| + C = \\ &= \frac{{\sqrt 2 }}{4}\ln \left| {\frac{{\sqrt {{x^2} - 1} + \sqrt 2 x}}{{\sqrt {{x^2} - 1} - \sqrt 2 x}}} \right| + C \end{aligned}[/math]



Спасибо!)Я теперь понял, как подобные интегралы решаются)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Хитрый параметрический интеграл

в форуме Интегральное исчисление

God_mode_2016

3

694

10 апр 2016, 04:21

Хитрый интеграл от арктангенса

в форуме Интегральное исчисление

Torus

5

422

31 авг 2021, 16:00

Пример на правило Лопиталя. Ну или это хитрый обман

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

nikita250996

15

816

09 янв 2015, 12:53

Криволинейный интеграл второго порядка(Интеграл работы)

в форуме Интегральное исчисление

Mephisto

3

274

06 июл 2022, 22:50

Неопределенный интеграл. скажите , как решать интеграл

в форуме Интегральное исчисление

natalee

3

707

18 янв 2015, 17:23

Неопределенный интеграл. скажите , как решать интеграл

в форуме Интегральное исчисление

natalee

1

824

18 янв 2015, 17:23

Несобственный интеграл, двойной интеграл

в форуме Интегральное исчисление

alexmilki

8

620

16 апр 2017, 21:43

Определенный интеграл и несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

VxVxN

11

1024

14 апр 2015, 20:58

Вычислить интеграл, Кратный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

PUFFIN

4

579

25 апр 2020, 15:39

Интеграл

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

hranitel6

2

166

26 ноя 2017, 21:26


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved