Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 12 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
| Автор | Сообщение | ||
|---|---|---|---|
| Nice |
|
||
|
|||
| Вернуться к началу | |||
| andrei |
|
|
|
Сделайте замену [math]x=tg(y)[/math]
|
||
| Вернуться к началу | ||
| AV_77 |
|
|
|
Можно подстановкой Эйлера воспользоваться: [math]\sqrt{x^2+1} = x + t[/math].
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Nice |
|
|
| Вернуться к началу | ||
| AV_77 |
|
|
|
Можно попробовать [math]\sqrt{x^2-1} = x + t[/math]. Только вычисления, наверное, достаточно сложные будут... но зато будет интеграл рациональной функции.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю AV_77 "Спасибо" сказали: Nice |
||
| Nice |
|
|
|
Может быть еще как-то можно?
Я не понимаю как заменять |
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
По-простому тут точно никак. Попробуйте ещё замену [math]x=\frac12\left(t+\frac1t\right)[/math]. Тогда корень уйдёт:
[math]\sqrt{x^2-1}=\frac12\left(t-\frac1t\right).[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: Nice |
||
| Alexdemath |
|
|
|
Я бы так рационализировал интеграл
[math]\begin{aligned}\int {\frac{{dx}}{{({x^2} + 1)\sqrt {{x^2} - 1} }}}&= \int {\frac{{{x^{ - 3}}dx}}{{(1 + {x^{ - 2}})\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} }}} = \left\{ \begin{gathered}\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} = t, \hfill \\ 1 + {x^{ - 2}} = 2 - {t^2}, \hfill \\ x^{-3}\,dx = t\,dt \hfill \\ \end{gathered} \right\} = \int {\frac{{dt}}{{2 - {t^2}}}} = \\ &= \frac{{\sqrt 2 }}{4}\ln \left| {\frac{{t + \sqrt 2 }}{{t - \sqrt 2 }}} \right| + C = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\ln \left| {\frac{{\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} + \sqrt 2 }}{{\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} - \sqrt 2 }}} \right| + C = \\ &= \frac{{\sqrt 2 }}{4}\ln \left| {\frac{{\sqrt {{x^2} - 1} + \sqrt 2 x}}{{\sqrt {{x^2} - 1} - \sqrt 2 x}}} \right| + C \end{aligned}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: Nice |
||
| Avgust |
|
|
|
Еще проще замена
[math]x=\frac{1}{\cos(t)}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: Nice |
||
| Nice |
|
|
|
Alexdemath писал(а): Я бы так рационализировал интеграл [math]\begin{aligned}\int {\frac{{dx}}{{({x^2} + 1)\sqrt {{x^2} - 1} }}}&= \int {\frac{{{x^{ - 3}}dx}}{{(1 + {x^{ - 2}})\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} }}} = \left\{ \begin{gathered}\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} = t, \hfill \\ 1 + {x^{ - 2}} = 2 - {t^2}, \hfill \\ x^{-3}\,dx = t\,dt \hfill \\ \end{gathered} \right\} = \int {\frac{{dt}}{{2 - {t^2}}}} = \\ &= \frac{{\sqrt 2 }}{4}\ln \left| {\frac{{t + \sqrt 2 }}{{t - \sqrt 2 }}} \right| + C = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\ln \left| {\frac{{\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} + \sqrt 2 }}{{\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} - \sqrt 2 }}} \right| + C = \\ &= \frac{{\sqrt 2 }}{4}\ln \left| {\frac{{\sqrt {{x^2} - 1} + \sqrt 2 x}}{{\sqrt {{x^2} - 1} - \sqrt 2 x}}} \right| + C \end{aligned}[/math] Спасибо!)Я теперь понял, как подобные интегралы решаются) |
||
| Вернуться к началу | ||
|
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 12 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |