Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 3 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| EEEVVVA |
|
|
|
Интеграл(от 0 до П/4)(cos(x)/(((cos(x))^3)+(sin(x))^3)) |
||
| Вернуться к началу | ||
| Alexdemath |
|
|
|
Нужно так
[math]\int\limits_0^{\pi /4} {\frac{{\cos x}}{{{{\cos }^3}x + {{\sin }^3}x}}\,dx} = \int\limits_0^{\pi /4} {\frac{1}{{1 + {{\operatorname{tg} }^3}x}}\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} = \left\{ \begin{gathered} \operatorname{tg} x = t, \hfill \\\frac{dx}{\cos^2x} = dt \hfill \\ \end{gathered} \right\} = \int\limits_0^1 \frac{dt}{1+t^3}[/math] Теперь разложите подынтегральную дробь с помощью метода неопределённых коэффициентов на сумму более элементарных дробей. Должны получить [math]\begin{aligned}\frac{1}{{1 + {t^3}}} &= \frac{1}{{(t + 1)({t^2} - t + 1)}} = \ldots = \frac{1}{3}\frac{1}{{t + 1}} - \frac{1}{3}\frac{{t - 2}}{{{t^2} - t + 1}} = \\ & = \frac{1}{3}\frac{1}{{t + 1}} - \frac{1}{6}\frac{{2t - 1 - 3}}{{{t^2} - t + 1}} = \frac{1}{3}\frac{1}{{t + 1}} - \frac{1}{6}\frac{{2t - 1}}{{{t^2} - t + 1}} + \frac{1}{2}\frac{1}{{{t^2} - t + 1}} \end{aligned}[/math] Преобразуем последнюю дробь: [math]\frac{1}{{{t^2} - t + 1}} = \frac{4}{{4{t^2} - 4t + 1 + 3}} = \frac{4}{{{{(2t - 1)}^2} + 3}} = \frac{4}{3}\frac{1}{{{{\left( {\frac{{2t - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} + 1}}[/math] Итак, имеем [math]\begin{aligned}\int\limits_0^{\pi /4} {\frac{{\cos x}}{{{{\cos }^3}x + {{\sin }^3}x}}\,dx}&= \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{1 + {t^3}}}} = \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{t + 1}}} - \frac{1}{6}\int\limits_0^1 {\frac{{2t - 1}}{{{t^2} - t + 1}}dt} + \frac{2}{3}\int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{{{\left( {\frac{{2t - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} + 1}}} = \\ &= \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {\frac{{d(t + 1)}}{{t + 1}}} - \frac{1}{6}\int\limits_0^1 {\frac{{d({t^2} - t + 1)}}{{{t^2} - t + 1}}} + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\int\limits_0^1 {\frac{{d\left( {\frac{{2t - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)}}{{{{\left( {\frac{{2t - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} + 1}}} = \\ & = \left. {\left( {\frac{1}{3}\ln |t + 1| - \frac{1}{6}\ln |{t^2} - t + 1| + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\operatorname{arctg} \frac{{2t - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)} \right|_0^1 = \\ &= \frac{1}{3}\ln 2 - \frac{1}{6}\ln 1 + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\operatorname{arctg} \frac{1}{{\sqrt 3 }} - \left( {\frac{1}{3}\ln 1 - \frac{1}{6}\ln 1 + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\operatorname{arctg} \frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right) = \\ &= \frac{1}{3}\ln 2 - 0 + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\operatorname{arctg} \frac{1}{{\sqrt 3 }} - \left(\frac{1}{3}\cdot0 - \frac{1}{6}\cdot0 - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\operatorname{arctg} \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = \\ & = \frac{1}{3}\ln 2 + \frac{2}{{\sqrt 3 }}\operatorname{arctg} \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{1}{3}\ln 2 + \frac{2}{{\sqrt 3 }}\frac{\pi }{6} = \frac{1}{3}\ln 2 + \frac{{\sqrt 3 }}{9}\pi \end{aligned}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: EEEVVVA |
||
| EEEVVVA |
|
|
|
Огромное Вам спасибо. Очень помогли)
|
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 3 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Зачем нужна перепись населения?
в форуме Размышления по поводу и без |
22 |
503 |
08 ноя 2021, 15:40 |
|
|
Нужна идея для доказательства одного утверждения
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
3 |
336 |
14 дек 2014, 22:14 |
|
| Помощь | 2 |
623 |
26 апр 2016, 15:16 |
|
|
Помощь
в форуме Алгебра |
3 |
91 |
14 ноя 2024, 14:28 |
|
|
Помощь
в форуме Тригонометрия |
2 |
164 |
05 авг 2024, 15:58 |
|
|
Помощь
в форуме Алгебра |
1 |
367 |
04 апр 2015, 09:27 |
|
| ПОМОЩЬ | 3 |
515 |
02 дек 2022, 02:16 |
|
|
ПОМОЩЬ
в форуме Алгебра |
2 |
232 |
19 мар 2024, 08:55 |
|
|
помощь
в форуме Размышления по поводу и без |
0 |
263 |
26 июл 2019, 07:00 |
|
|
Помощь
в форуме Алгебра |
1 |
195 |
10 июн 2022, 04:46 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |