Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| vvq |
|
|
|
[math][/math] [math]\int\limits_{C}xy ds[/math], где С - четверть эллипса [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math] , лежащая в первом квадранте. Вычислить криволинейный интеграл. Действую по формуле [math]\int\limits_{C} f(x,y) ds = \int\limits_{a}^{b}f(x,\phi(x))\sqrt{1+(\phi'(x))^2)}dx[/math] Выражаю y [math]y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}[/math] [math]y'=\frac{b}{a}\frac{-2x}{2\sqrt{a^2-x^2}}=-\frac{b}{a}\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}[/math] [math](y')^2=\frac{b^2}{a^2}\frac{x^2}{a^2-x^2}[/math] [math]1+(y')^2=1+\frac{b^2}{a^2}\frac{x^2}{a^2-x^2}=\frac{a^2(a^2-x^2)+b^2x^2}{a^2(a^2-x^2)}[/math] [math]\sqrt{1+(y')^2}=\frac{\sqrt{a^4-a^2x^2+b^2x^2}}{a\sqrt{a^2-x^2}}[/math] [math]\int x\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}\frac{\sqrt{a^4-a^2x^2+b^2x^2}}{a\sqrt{a^2-x^2}}dx[/math] Какие пределы? И так ли сделано? |
||
| Вернуться к началу | ||
| vvq |
|
|
|
Еще вопрос
Вычислить криволинейный интеграл [math]\int\limits_{C}(x^2+y^2)^2 ds[/math], где С - дуга логарифмической спирали [math]r=ae^{m\phi}[/math] (m>0) от A(0;a) до О(-∞;0) Вычислил. Все сошлось. Получилось [math]\int\limits a^5e^{5m\phi}\sqrt{1+m^2}d\phi[/math] Какие пределы интегрирования должны быть? В ответе - [math]a^5\sqrt{1+m^2}\frac{1}{5m}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| erjoma |
|
|
|
vvq писал(а): [math]\int x\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}\frac{\sqrt{a^4-a^2x^2+b^2x^2}}{a\sqrt{a^2-x^2}}dx[/math] Какие пределы? И так ли сделано? [math]0 \leqslant x \leqslant a[/math] Сделано верно. vvq писал(а): [math]\int\limits a^5e^{5m\phi}\sqrt{1+m^2}d\phi[/math] Какие пределы интегрирования должны быть? [math]\int\limits _{-\infty }^{0} a^5e^{5m\phi}\sqrt{1+m^2}d\phi[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали: vvq |
||
| vvq |
|
|
|
Спасибо большое!
|
||
| Вернуться к началу | ||
| vvq |
|
|
|
А вот такой случай как делать??
Вычислить криволинейный интеграл от выражения, являющегося полным дифференциалом [math]\int\limits_{(\frac{1}{2};\frac{1}{2})}^{(x;y)}\frac{dx-dy}{x+y}[/math] Как понимаю, нужно преобразовать выражение в полный дифференциал. Можно было бы взять ln(x+y), но в дроби минус, а так получается плюс... |
||
| Вернуться к началу | ||
| erjoma |
|
|
|
Подынтегральное выражение не является полным дифференциалом, т.к.
[math]\begin{gathered} \frac{{dx - dy}}{{x + y}} = P\left( {x,y} \right)dx + Q\left( {x,y} \right)dy \hfill \\ \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( { - \frac{1}{{x + y}}} \right) = \frac{1}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} \hfill \\ \frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{1}{{x + y}}} \right) = - \frac{1}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} \hfill \\ \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} \ne \frac{{\partial P}}{{\partial y}} \hfill \\ \end{gathered}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали: vvq |
||
| Prokop |
|
|
|
vvq писал(а): Подскажите что не так. [math][/math] [math]\int\limits_{C}xy ds[/math], где С - четверть эллипса [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math] , лежащая в первом квадранте. Вычислить криволинейный интеграл. Действую по формуле [math]\int\limits_{C} f(x,y) ds = \int\limits_{a}^{b}f(x,\phi(x))\sqrt{1+(\phi'(x))^2)}dx[/math] Выражаю y [math]y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}[/math] [math]y'=\frac{b}{a}\frac{-2x}{2\sqrt{a^2-x^2}}=-\frac{b}{a}\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}[/math] [math](y')^2=\frac{b^2}{a^2}\frac{x^2}{a^2-x^2}[/math] [math]1+(y')^2=1+\frac{b^2}{a^2}\frac{x^2}{a^2-x^2}=\frac{a^2(a^2-x^2)+b^2x^2}{a^2(a^2-x^2)}[/math] [math]\sqrt{1+(y')^2}=\frac{\sqrt{a^4-a^2x^2+b^2x^2}}{a\sqrt{a^2-x^2}}[/math] [math]\int x\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}\frac{\sqrt{a^4-a^2x^2+b^2x^2}}{a\sqrt{a^2-x^2}}dx[/math] Какие пределы? И так ли сделано? Здесь лучше использовать параметрическое задание эллипса [math]x = a\cos t[/math] [math]y = b\sin t[/math] [math]t \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right][/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: mad_math, vvq |
||
| vvq |
|
|
|
erjoma писал(а): Подынтегральное выражение не является полным дифференциалом, т.к. [math]\begin{gathered} \frac{{dx - dy}}{{x + y}} = P\left( {x,y} \right)dx + Q\left( {x,y} \right)dy \hfill \\ \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( { - \frac{1}{{x + y}}} \right) = \frac{1}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} \hfill \\ \frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{1}{{x + y}}} \right) = - \frac{1}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} \hfill \\ \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} \ne \frac{{\partial P}}{{\partial y}} \hfill \\ \end{gathered}[/math] ох,видимо опечатка в условии... тогда наверное так должно быть? [math]\frac{{dx + dy}}{{x + y}}[/math] тогда как? то есть выражение является полным диф-ом |
||
| Вернуться к началу | ||
| vvq |
|
|
|
а, все понял)))
это будет [math]\int\limits_{(\frac{1}{2};\frac{1}{2})}^{(x;y)}d(\ln(x+y))=ln(x+y)\biggr|_{(x,y)}^{(\frac{1}{2};\frac{1}{2})}=\ln(x+y)-\ln1=\ln(x+y)[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 9 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Криволинейный интеграл первого рода
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
215 |
09 дек 2020, 15:18 |
|
|
Криволинейный интеграл первого рода
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
351 |
06 май 2018, 13:58 |
|
|
Вычислить криволинейный интеграл первого рода
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
295 |
20 ноя 2021, 10:23 |
|
|
Вычислить криволинейный интеграл первого рода
в форуме Интегральное исчисление |
16 |
1015 |
02 мар 2016, 02:52 |
|
|
Вычислить криволинейный интеграл первого рода
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
189 |
01 ноя 2021, 22:40 |
|
| Вычислить криволинейный интеграл первого рода | 0 |
179 |
20 ноя 2021, 10:21 |
|
|
Криволинейный интеграл 2 рода
в форуме Интегральное исчисление |
4 |
411 |
04 дек 2017, 16:28 |
|
|
Криволинейный интеграл 1-го рода
в форуме Интегральное исчисление |
5 |
259 |
07 фев 2019, 11:17 |
|
|
Криволинейный интеграл 2-го рода
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
470 |
24 дек 2014, 19:58 |
|
|
Криволинейный интеграл 2-го рода
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
334 |
26 мар 2021, 14:03 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |