Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| vvq |
|
|
|
Найти площадь поверзности шара [math]x^2+y^2+z^2=a^2[/math], вырезанной поверхностью [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math]. Собственно опять по формуле [math]\iint\limits_{(S)}=\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}dx dy[/math] [math]z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}[/math] [math]\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}[/math] [math]\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{-y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}[/math] [math]\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2-x^2-y^2}+\frac{y^2}{a^2-x^2-y^2}}=\sqrt{\frac{a^2-x^2-y^2+x^2+y^2}{a^2-x^2-y^2}}=\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}[/math] Далее, вроде бы искомая площадь - это часть шара, отрезанного цилиндром. Сверху и снизу. Нахожу верхнюю часть, домнажая на 2. [math]S=2\int\limits_{0}^{a}dx\int\limits_{0}^{b}\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}dy=2a\int\limits_{0}^{a}\arcsin\frac{b}{\sqrt{a^2-x^2}}dx[/math] Дальше ерунда(( Пробую через полярные координаты [math]x=r\cos(\phi)[/math] [math]y=r\sin(\phi)[/math] [math]\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}=\frac{a}{\sqrt{a^2-r^2\cos^2\phi-r^2\sin^2\phi}}=\frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}[/math] [math]S=2\int\limits_{0}^{2\pi}d\phi\int\limits_{0}^{???}\frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}dr[/math] Как найти верхний предел тогда? Это по идее образующая эллиптического цилиндра[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math]... Но если переводить это в полярные коорд получается ерунда... А если применять полярные коорд [math]x=ar\cos(\phi)[/math], то непонятно как от них перейти к основной формуле...? ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| Shaman |
|
|
|
В полярных координатах граница интегрирования по радиусу: [math]\sqrt {{a^2} \cdot {{\cos }^2}(\varphi ) + {b^2} \cdot {{\sin }^2}(\varphi )}[/math]
Но, по моему разумению, это какая-то форма эллиптического интеграла и явно он не берётся. Мне так кажется. |
||
| Вернуться к началу | ||
| vvq |
|
|
|
Я там вроде якобиан забыл
ТО есть получается [math]S=2\int\limits_{0}^{2\pi}d\phi\int\limits_{0}^{\sqrt {{a^2} \cdot {{\cos }^2}(\varphi ) + {b^2} \cdot {{\sin }^2}(\varphi )}}\frac{ar}{\sqrt{a^2-r^2}}dr[/math] ??? |
||
| Вернуться к началу | ||
| Shaman |
|
|
|
Точно так
|
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 4 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Вычисление площади поверхности тела вращения
в форуме Интегральное исчисление |
8 |
388 |
10 сен 2020, 19:06 |
|
|
Расчет площади поверхности
в форуме Интегральное исчисление |
7 |
452 |
03 янв 2017, 19:06 |
|
|
Площадь части поверхности
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
325 |
23 дек 2017, 21:23 |
|
|
Площадь части поверхности
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
607 |
23 апр 2016, 19:22 |
|
|
Вычисление площади. Двойные интегралы
в форуме Интегральное исчисление |
7 |
458 |
02 окт 2015, 00:03 |
|
| Найти массу части поверхности | 1 |
188 |
06 июн 2023, 16:38 |
|
|
Найти площадь части поверхности
в форуме Интегральное исчисление |
7 |
782 |
23 дек 2018, 13:14 |
|
|
Найти площадь части поверхности(а)
в форуме Интегральное исчисление |
5 |
252 |
13 окт 2021, 22:21 |
|
|
Вычислить площадь части поверхности
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
401 |
14 янв 2016, 18:42 |
|
|
Вычислить площадь части поверхности
в форуме Интегральное исчисление |
11 |
692 |
13 сен 2020, 21:04 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |