Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

проверить вычисление определенных интегралов, help please)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=15124
Страница 1 из 1

Автор:  nazichok [ 03 мар 2012, 16:40 ]
Заголовок сообщения:  проверить вычисление определенных интегралов, help please)

проверьте пожалуйста решение трех примеров, и подскажите как решать остальные?

Вложения:
4-7.jpg
4-7.jpg [ 37.16 Кб | Просмотров: 36 ]
1-3.jpg
1-3.jpg [ 63.96 Кб | Просмотров: 40 ]

Автор:  arkadiikirsanov [ 03 мар 2012, 21:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: проверить вычисление определенных интегралов, help please)

Верно.

Автор:  erjoma [ 03 мар 2012, 22:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: проверить вычисление определенных интегралов, help please)

Примеры решены верно, есть только несколько опечаток во второй строке 2.11.

7.11
[math]\int\limits_1^{\sqrt 3 } {\frac{{\operatorname{arctg}x}}{{{x^3}}}dx} = \left( \begin{gathered} u = \operatorname{arctg}x,dv = \frac{{dx}}{{{x^3}}} \hfill \\ du = \frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}, v = - \frac{1}{{2{x^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right) = - \left. {\frac{{\operatorname{arctg}x}}{{2{x^2}}}} \right|_1^{\sqrt 3 } + \int\limits_1^{\sqrt 3 } {\frac{{dx}}{{2{x^2}\left( {1 + {x^2}} \right)}}dx} = ...[/math]

5.11
[math]\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 + {e^x}} }}} = \left( \begin{gathered} {t^2} = {e^x} + 1 \hfill \\ x = \ln \left( {{t^2} - 1} \right) \hfill \\ dx = \frac{{2t}}{{{t^2} - 1}}dt \hfill \\ \end{gathered} \right) = 2\int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt {e + 1} } {\frac{{dt}}{{{t^2} - 1}}} = ...[/math]

4.11
[math]\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^{100}}}}} dx = \left( \begin{gathered} t = x - 1 \hfill \\ dt = dx \hfill \\ \end{gathered} \right) = \int\limits_{ - 1}^{ - \frac{1}{2}} {\frac{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}{{{t^{100}}}}dt} = ...[/math]

Автор:  erjoma [ 03 мар 2012, 22:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: проверить вычисление определенных интегралов, help please)

Подправил 5.11.
В 6.11 возможно попробывать одну из подстановок Эйлера

Автор:  nazichok [ 03 мар 2012, 22:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: проверить вычисление определенных интегралов, help please)

erjoma писал(а):
Подправил 5.11.
В 6.11 возможно попробывать одну из подстановок Эйлера

правильно заменяю?
[math]\int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^2} + x + 1} }} = \left| \begin{gathered} \sqrt {{x^2} + x + 1} = x + t \hfill \\ x + 1 = 2tx + {t^2} \hfill \\ (1 - 2t)x = {t^2} - 1 \hfill \\ x = \frac{{{t^2} - 1}}{{(1 - 2t)}} \hfill \\ dx = \frac{{2t(1 - 2t) + 2({t^2} - 1)}}{{{{(1 - 2t)}^2}}}dt = \frac{{2({t^2} + t - 1)}}{{4({t^2} + t - \frac{1}{4})}} \hfill \\\end{gathered}\right|}[/math]

Автор:  erjoma [ 04 мар 2012, 03:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: проверить вычисление определенных интегралов, help please)

nazichok писал(а):
правильно заменяю?
[math]\int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^2} + x + 1} }} = \left| \begin{gathered} \sqrt {{x^2} + x + 1} = x + t \hfill \\ x + 1 = 2tx + {t^2} \hfill \\ (1 - 2t)x = {t^2} - 1 \hfill \\ x = \frac{{{t^2} - 1}}{{(1 - 2t)}} \hfill \\ dx = \frac{{2t(1 - 2t) + 2({t^2} - 1)}}{{{{(1 - 2t)}^2}}}dt = \frac{{2({t^2} + t - 1)}}{{4({t^2} + t - \frac{1}{4})}} \hfill \\\end{gathered}\right|}[/math]


Потеряли минус.
[math]\int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^2} + x + 1} }}} = \left( \begin{gathered} \sqrt {{x^2} + x + 1} = x + t \hfill \\ x = \frac{{{t^2} - 1}}{{1 - 2t}} \hfill \\ dx = \frac{{2t\left( {1 - 2t} \right) + 2\left( {{t^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {1 - 2t} \right)}^2}}}dt = \frac{{2\left( {t - 2{t^2} + {t^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {1 - 2t} \right)}^2}}}dt = \frac{{2\left( { - {t^2} + t - 1} \right)}}{{{{\left( {1 - 2t} \right)}^2}}}dt \hfill \\ \sqrt {{x^2} + x + 1} = \frac{{{t^2} - 1}}{{1 - 2t}} + t = \frac{{{t^2} - 1 + t - 2{t^2}}}{{1 - 2t}} = \frac{{ - {t^2} + t - 1}}{{1 - 2t}} \hfill \\ \end{gathered} \right) = \int\limits_{\sqrt 3 - 1}^{\sqrt 7 - 2} {\frac{{2dt}}{{{t^2} - 1}}} =\left. {\ln \left( {\frac{{t - 1}}{{t + 1}}} \right)} \right|_{\sqrt 3 - 1}^{\sqrt 7 - 2}= ...[/math]



P.S. Лучше наверно, так
[math]\int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^2} + x + 1} }}} = \int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{{x^2}\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}} = \left( \begin{gathered} t = \frac{1}{x} \hfill \\ - dt = \frac{{dx}}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right) = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{dt}}{{\sqrt {{t^2} + t + 1} }}} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{dt}}{{\sqrt {{{\left( {t + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} }}} =\left. {\ln \left( {t + \frac{1}{2} + \sqrt {{t^2} + t + 1} } \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^1 = ...[/math]

Автор:  nazichok [ 11 мар 2012, 14:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: проверить вычисление определенных интегралов, help please)

erjoma писал(а):
Примеры решены верно, есть только несколько опечаток во второй строке 2.11.

7.11
[math]\int\limits_1^{\sqrt 3 } {\frac{{\operatorname{arctg}x}}{{{x^3}}}dx} = \left( \begin{gathered} u = \operatorname{arctg}x,dv = \frac{{dx}}{{{x^3}}} \hfill \\ du = \frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}, v = - \frac{1}{{2{x^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right) = - \left. {\frac{{\operatorname{arctg}x}}{{2{x^2}}}} \right|_1^{\sqrt 3 } + \int\limits_1^{\sqrt 3 } {\frac{{dx}}{{2{x^2}\left( {1 + {x^2}} \right)}}dx} = ...[/math]

5.11
[math]\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 + {e^x}} }}} = \left( \begin{gathered} {t^2} = {e^x} + 1 \hfill \\ x = \ln \left( {{t^2} - 1} \right) \hfill \\ dx = \frac{{2t}}{{{t^2} - 1}}dt \hfill \\ \end{gathered} \right) = 2\int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt {e + 1} } {\frac{{dt}}{{{t^2} - 1}}} = ...[/math]

4.11
[math]\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^{100}}}}} dx = \left( \begin{gathered} t = x - 1 \hfill \\ dt = dx \hfill \\ \end{gathered} \right) = \int\limits_{ - 1}^{ - \frac{1}{2}} {\frac{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}{{{t^{100}}}}dt} = ...[/math]



а 5.11 так можно решить??
[math]\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 + {e^x}} }} = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{e^{_x}}\sqrt {{e^{ - x}} + 1} }} = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^{ - x}}dx}}{{\sqrt {{e^{ - x}} + 1} }} = \int\limits_0^1 {{{({e^{ - x}} + 1)}^{\frac{1}{2}}}d({e^{ - x}} + 1)} = } } } \left. {\frac{{2\sqrt {{{({e^{ - x}} + 1)}^3}} }}{3}} \right|_0^1 = \frac{{2\sqrt {{{({e^{ - 1}} + 1)}^3}} }}{3}[/math]

Автор:  erjoma [ 11 мар 2012, 16:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: проверить вычисление определенных интегралов, help please)

Нет, нельзя так.
[math]\frac{1}{{\sqrt {1 + {e^x}} }} = \frac{1}{{{e^{\frac{x}{2}}}\sqrt {{e^{ - x}} + 1} }}[/math]

Автор:  dr Watson [ 11 мар 2012, 16:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: проверить вычисление определенных интегралов, help please)

В 6.11 будет проще [math]x=\frac1t[/math] или сразу [math]x=\frac1{t-\frac12}[/math], чтоб потом не возиться с приведением к табличному выделением квадрата.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/