Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: интеграл по полусфере
СообщениеДобавлено: 13 фев 2012, 06:08 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
26 дек 2010, 11:24
Сообщений: 54
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\[\iint\limits_S x^2dxdz+y^2dzdx+z^2dxdy \][/math], где [math]S[/math]-внешняя сторона полусферы [math]x^2+y^2+z^2=a^2[/math]

[math]\[\iint\limits_S (x^2\cos\alpha+y^2\cos\betta+z^2\cos\gamma)dS \][/math]
[math]dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy=\frac{a}{z}dxdy[/math]
[math]\cos\alpha=\frac{-x}{z\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}[/math]
[math]\cos\betta=\frac{-y}{z\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}[/math]
[math]\cos\gamma=\frac{-1}{z\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}[/math]
в итоге [math]\[\iint\limits_D (x^2z_x+y^2z_y+z^2(-1))dxdy \]=-\[\iint\limits_D (\frac{x^3+y^3}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}+a^2-x^2-y^2) dxdx \][/math]
где [math]D={x^2+y^2<=a^2}[/math]
Правильно или я ошибся где-то?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: интеграл по полусфере
СообщениеДобавлено: 14 фев 2012, 15:22 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2790
Откуда: СССР
Cпасибо сказано: 120
Спасибо получено:
857 раз в 688 сообщениях
Очков репутации: 203

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Надо добавить - верхняя полусфера. Внешняя нормаль посчитана неверно - перпендикулярен к поверхности F=0 градиент функции F, его надо только отнормировать. В данном случае результат совсем очевиден, так как поверхность сфера, то перпендикуляр к сфере в данной точке это радиус-вектор этой точки. Делим его на радиус и получаем внешнюю нормаль [math]\vec{n}=\frac1a(x,y,z)[/math]. Ну а направляющие косинусы - это просто координаты этой нормали.
Для вычисления этого интеграла лучше его свести к тройному по формуле Остроградского. Там практически устно получается [math]\frac{\pi a^4}{2}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: интеграл по полусфере
СообщениеДобавлено: 14 фев 2012, 17:58 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
17 ноя 2011, 16:06
Сообщений: 59
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
4 раз в 4 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dr Watson
данный пример идет в учебнике до формулы Г-О.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: интеграл по полусфере
СообщениеДобавлено: 14 фев 2012, 20:04 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2790
Откуда: СССР
Cпасибо сказано: 120
Спасибо получено:
857 раз в 688 сообщениях
Очков репутации: 203

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А откуда Вы знаете? Можно и прямо - не сильно длинее. Вовремя только сообразить отбросить слагаемые, интеграл от которых нуль из-за нечетности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: интеграл по полусфере
СообщениеДобавлено: 15 фев 2012, 04:12 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
26 дек 2010, 11:24
Сообщений: 54
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dr Watson писал(а):
А откуда Вы знаете?

На паре такой пример решали...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: интеграл по полусфере
СообщениеДобавлено: 15 фев 2012, 16:34 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2790
Откуда: СССР
Cпасибо сказано: 120
Спасибо получено:
857 раз в 688 сообщениях
Очков репутации: 203

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я спрашивал у patr, а отвечает sebay. Я в растерянности - вас один или двое?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: интеграл по полусфере
СообщениеДобавлено: 15 фев 2012, 18:10 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
17 ноя 2011, 16:06
Сообщений: 59
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
4 раз в 4 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dr Watson
нас двое, просто учимся в разных группах на одном курсе. Sebay спрашивал у меня, но я не смог толком ответить...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Криволинейный интеграл второго порядка(Интеграл работы)

в форуме Интегральное исчисление

Mephisto

3

274

06 июл 2022, 22:50

Неопределенный интеграл. скажите , как решать интеграл

в форуме Интегральное исчисление

natalee

3

707

18 янв 2015, 17:23

Неопределенный интеграл. скажите , как решать интеграл

в форуме Интегральное исчисление

natalee

1

824

18 янв 2015, 17:23

Вычислить интеграл, Кратный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

PUFFIN

4

579

25 апр 2020, 15:39

Несобственный интеграл, двойной интеграл

в форуме Интегральное исчисление

alexmilki

8

620

16 апр 2017, 21:43

Определенный интеграл и несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

VxVxN

11

1024

14 апр 2015, 20:58

Интеграл

в форуме Интегральное исчисление

nazik

1

104

08 апр 2018, 16:32

Интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Alexand

5

215

20 май 2020, 14:38

Интеграл

в форуме Интегральное исчисление

ilmir254

1

107

25 май 2020, 19:39

Интеграл

в форуме Интегральное исчисление

user007

1

160

20 янв 2015, 16:43


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved