Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить с помощью двойного интеграла объем тела
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=14514
Страница 1 из 1

Автор:  Sergeevna_89 [ 08 фев 2012, 21:04 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить с помощью двойного интеграла объем тела

Вычислитьобъем с помощью двойного интеграла объем тела, ограниченного данными поверхностями. Сделать чертеж даного тела и его проекции на плоскость хоу.


Помогите пожалуйста!!!!

Вложения:
2-1.jpg
2-1.jpg [ 14.26 Кб | Просмотров: 778 ]

Автор:  Alexdemath [ 09 фев 2012, 01:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить с помощью двойного интеграла объем тела

Sergeevna_89
Пример а)

Проекция тела на плоскость [math]Oxy[/math] есть [math]D_{xy}= \Bigr\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon\, 0 \leqslant x \leqslant 1,~0 \leqslant y \leqslant 1-x\Bigl\}[/math].
То есть прямоугольный треугольник с прямым углом в начале координат (0;0) и единичными катетами.

[math]z_1=x^2+ 3y^2,\quad z_2=0;\quad z_1\geqslant z_2[/math]

[math]\begin{aligned}V &= \iint\limits_{D_{xy}}(z_1-z_2)\,dxdy= \int\limits_0^1 dx \int\limits_0^{1-x}(x^2+3y^2)\,dy= \int\limits_0^1 dx \left. {\Bigl(x^2y+y^3\Bigr)}\right|_0^{1-x}=\\[2pt] &=\int\limits_0^1 \Bigl[x^2(1-x)+(1-x)^3\Bigr]dx= \int\limits_0^1 (1-3x+4x^2-2x^3)=\ldots = \frac{1}{3}\end{aligned}[/math]

Автор:  Alexdemath [ 09 фев 2012, 02:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить с помощью двойного интеграла объем тела

В пример б) при вычислении интеграла перейдите в полярные координаты

[math]\begin{aligned}D_{xy}&= \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon\, x^2+y^2\leqslant 2^2\right\}\\[5pt] z_1&= 0,\quad z_2=4-x-y\\[5pt] V&= \iint\limits_{D_{xy}}(z_2-z_1)\,dxdy= \iint\limits_{x^2+y^2\leqslant 2^2}(4-x-y)\,dxdy= \left\{\begin{gathered}x = r\cos \varphi, \hfill\\y=r\sin \varphi\hfill \end{gathered}\right\}=\\[2pt] &=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^2 (4-r\cos\varphi- r\sin \varphi)\,r\,dr= \int\limits_0^{2\pi}d\varphi\!\left.{\left(2r^2- (\cos\varphi+\sin\varphi )\frac{r^3}{3}\right)}\!\right|_0^2 =\\[2pt] &=\int\limits_0^{2\pi}\! \left(8-(\cos\varphi+\sin\varphi)\frac{8}{3}\right)\!d\varphi= \frac{8}{3}\int\limits_0^{2\pi}(3-\cos\varphi-\sin\varphi)\,d\varphi=\\[2pt] &=\left.{\frac{8}{3}(3\varphi- \sin\varphi+ \cos \varphi )}\!\right|_0^{2\pi} = \frac{8}{3}\Bigl[6\pi-0+1-(0-0+1)\Bigr] = 16\pi \end{aligned}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/