Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 3 ] |
|
| Автор | Сообщение | ||
|---|---|---|---|
| Sergeevna_89 |
|
||
|
Помогите пожалуйста!!!!
|
|||
| Вернуться к началу | |||
| Alexdemath |
|
|
|
Sergeevna_89
Пример а) Проекция тела на плоскость [math]Oxy[/math] есть [math]D_{xy}= \Bigr\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon\, 0 \leqslant x \leqslant 1,~0 \leqslant y \leqslant 1-x\Bigl\}[/math]. То есть прямоугольный треугольник с прямым углом в начале координат (0;0) и единичными катетами. [math]z_1=x^2+ 3y^2,\quad z_2=0;\quad z_1\geqslant z_2[/math] [math]\begin{aligned}V &= \iint\limits_{D_{xy}}(z_1-z_2)\,dxdy= \int\limits_0^1 dx \int\limits_0^{1-x}(x^2+3y^2)\,dy= \int\limits_0^1 dx \left. {\Bigl(x^2y+y^3\Bigr)}\right|_0^{1-x}=\\[2pt] &=\int\limits_0^1 \Bigl[x^2(1-x)+(1-x)^3\Bigr]dx= \int\limits_0^1 (1-3x+4x^2-2x^3)=\ldots = \frac{1}{3}\end{aligned}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: mad_math |
||
| Alexdemath |
|
|
|
В пример б) при вычислении интеграла перейдите в полярные координаты
[math]\begin{aligned}D_{xy}&= \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon\, x^2+y^2\leqslant 2^2\right\}\\[5pt] z_1&= 0,\quad z_2=4-x-y\\[5pt] V&= \iint\limits_{D_{xy}}(z_2-z_1)\,dxdy= \iint\limits_{x^2+y^2\leqslant 2^2}(4-x-y)\,dxdy= \left\{\begin{gathered}x = r\cos \varphi, \hfill\\y=r\sin \varphi\hfill \end{gathered}\right\}=\\[2pt] &=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^2 (4-r\cos\varphi- r\sin \varphi)\,r\,dr= \int\limits_0^{2\pi}d\varphi\!\left.{\left(2r^2- (\cos\varphi+\sin\varphi )\frac{r^3}{3}\right)}\!\right|_0^2 =\\[2pt] &=\int\limits_0^{2\pi}\! \left(8-(\cos\varphi+\sin\varphi)\frac{8}{3}\right)\!d\varphi= \frac{8}{3}\int\limits_0^{2\pi}(3-\cos\varphi-\sin\varphi)\,d\varphi=\\[2pt] &=\left.{\frac{8}{3}(3\varphi- \sin\varphi+ \cos \varphi )}\!\right|_0^{2\pi} = \frac{8}{3}\Bigl[6\pi-0+1-(0-0+1)\Bigr] = 16\pi \end{aligned}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 3 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |