Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 2 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| ALENA777 |
|
|
| Вернуться к началу | ||
| SzaryWilk |
|
|
|
Способ 1 (стандартный)
[math]I=\int\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx= \int\frac{x^2}{\sqrt{4(1-\frac{x^2}{4}})}dx=\int\frac{x^2}{2\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}dx=\frac{1}{2}\int\frac{x^2}{\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}}dx=[/math] [math]=\left|\begin{matrix}\frac{x}{2}=\sin t\\x=2\sin t\\dx=2\cos tdt\end{matrix}\right|=\frac{1}{2}\int\frac{(2\sin t)^2}{\sqrt{1-\sin^2t}}2\cos t dt= 4\int\sin^2t\;dt=[/math] (Например интегрируя по частям находим:) [math]=2(t-\sin t\cos t)+C=2(\arcsin\frac{x}{2}-\frac{x}{2}\cos\arcsin \frac{x}{2})+C=[/math] [math]=2\arcsin\frac{x}{2}-x\sqrt{1-\big(\frac{x}{2}\big)^2}+C=2\arcsin\frac{x}{2}-x\sqrt{\frac{1}{4}(4-x^2)}+C=[/math] [math]=2\arcsin\frac{x}{2}-\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+C[/math] (Здесь мы использовали равенство[math]\cos(\arcsin y)=\sqrt{1-y^2}[/math]) Способ 2 (веселый прием )Интегрируем по частям: [math]I=\int\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx=\int x\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}dx=-x\sqrt{4-x^2}+\int\sqrt{4-x^2}dx=[/math] (Сделаем так, чтобы выразить [math]I[/math] через [math]-I[/math] и другие функции) [math]=-x\sqrt{4-x^2}+\int\frac{4-x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx=[/math] [math]=-x\sqrt{4-x^2}+4\int\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx-\int\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx=[/math] [math]=-x\sqrt{4-x^2}+\int\frac{4}{\sqrt{4-x^2}}dx-I=\cdots[/math] Теперь вычислим интеграл [math]\int\frac{4}{\sqrt{4-x^2}}dx[/math] [math]\int\frac{4}{\sqrt{4-x^2}}dx= 4\int\frac{1}{\sqrt{4(1-\frac{x^2}{4}})}dx=4\int\frac{1}{2\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}dx=2\int\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}}dx=[/math] [math]=\left|\begin{matrix}\frac{x}{2}=t\\dx=2dt\end{matrix}\right|=4\int\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt=4\arcsin t+C=4\arcsin\frac{x}{2}+C[/math] [math]\cdots=-x\sqrt{4-x^2}+4\arcsin\frac{x}{2}+C-I[/math] Значит, мы получили следующее равенство: [math]I=-x\sqrt{4-x^2}+4\arcsin\frac{x}{2}+C-I[/math] Из него находим искомый интеграл [math]I[/math] [math]I=2\arcsin\frac{x}{2}-\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+C[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали: ALENA777 |
||
|
[ Сообщений: 2 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Неопределенный интеграл. скажите , как решать интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
707 |
18 янв 2015, 17:23 |
|
|
Неопределенный интеграл. скажите , как решать интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
824 |
18 янв 2015, 17:23 |
|
|
Неопределенный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
10 |
520 |
30 мар 2018, 05:20 |
|
|
Неопределенный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
8 |
452 |
25 мар 2018, 21:22 |
|
|
Неопределенный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
6 |
520 |
07 фев 2021, 13:06 |
|
|
Неопределенный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
5 |
271 |
27 янв 2021, 20:10 |
|
|
Неопределенный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
450 |
29 мар 2018, 06:10 |
|
|
Неопределенный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
9 |
279 |
19 дек 2020, 21:59 |
|
|
Неопределённый интеграл
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
4 |
329 |
22 мар 2015, 21:11 |
|
|
Неопределённый интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
601 |
29 сен 2018, 12:41 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |