Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
СообщениеДобавлено: 07 фев 2012, 01:19 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
06 фев 2012, 23:10
Сообщений: 144
Cпасибо сказано: 15
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
СообщениеДобавлено: 07 фев 2012, 04:10 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 авг 2011, 00:18
Сообщений: 575
Откуда: Краков, Польша
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
576 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 265

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Способ 1 (стандартный)

[math]I=\int\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx= \int\frac{x^2}{\sqrt{4(1-\frac{x^2}{4}})}dx=\int\frac{x^2}{2\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}dx=\frac{1}{2}\int\frac{x^2}{\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}}dx=[/math]


[math]=\left|\begin{matrix}\frac{x}{2}=\sin t\\x=2\sin t\\dx=2\cos tdt\end{matrix}\right|=\frac{1}{2}\int\frac{(2\sin t)^2}{\sqrt{1-\sin^2t}}2\cos t dt= 4\int\sin^2t\;dt=[/math]


(Например интегрируя по частям находим:)

[math]=2(t-\sin t\cos t)+C=2(\arcsin\frac{x}{2}-\frac{x}{2}\cos\arcsin \frac{x}{2})+C=[/math]


[math]=2\arcsin\frac{x}{2}-x\sqrt{1-\big(\frac{x}{2}\big)^2}+C=2\arcsin\frac{x}{2}-x\sqrt{\frac{1}{4}(4-x^2)}+C=[/math]


[math]=2\arcsin\frac{x}{2}-\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+C[/math]



(Здесь мы использовали равенство[math]\cos(\arcsin y)=\sqrt{1-y^2}[/math])



Способ 2 (веселый прием :puzyr:) )

Интегрируем по частям:

[math]I=\int\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx=\int x\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}dx=-x\sqrt{4-x^2}+\int\sqrt{4-x^2}dx=[/math]


(Сделаем так, чтобы выразить [math]I[/math] через [math]-I[/math] и другие функции)

[math]=-x\sqrt{4-x^2}+\int\frac{4-x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx=[/math]


[math]=-x\sqrt{4-x^2}+4\int\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx-\int\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx=[/math]


[math]=-x\sqrt{4-x^2}+\int\frac{4}{\sqrt{4-x^2}}dx-I=\cdots[/math]


Теперь вычислим интеграл [math]\int\frac{4}{\sqrt{4-x^2}}dx[/math]

[math]\int\frac{4}{\sqrt{4-x^2}}dx= 4\int\frac{1}{\sqrt{4(1-\frac{x^2}{4}})}dx=4\int\frac{1}{2\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}dx=2\int\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}}dx=[/math]

[math]=\left|\begin{matrix}\frac{x}{2}=t\\dx=2dt\end{matrix}\right|=4\int\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt=4\arcsin t+C=4\arcsin\frac{x}{2}+C[/math]


[math]\cdots=-x\sqrt{4-x^2}+4\arcsin\frac{x}{2}+C-I[/math]


Значит, мы получили следующее равенство:

[math]I=-x\sqrt{4-x^2}+4\arcsin\frac{x}{2}+C-I[/math]


Из него находим искомый интеграл [math]I[/math]

[math]I=2\arcsin\frac{x}{2}-\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+C[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали:
ALENA777
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Неопределенный интеграл. скажите , как решать интеграл

в форуме Интегральное исчисление

natalee

3

707

18 янв 2015, 17:23

Неопределенный интеграл. скажите , как решать интеграл

в форуме Интегральное исчисление

natalee

1

824

18 янв 2015, 17:23

Неопределенный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

351w

10

520

30 мар 2018, 05:20

Неопределенный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

351w

8

452

25 мар 2018, 21:22

Неопределенный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

ladislaus232

6

520

07 фев 2021, 13:06

Неопределенный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

whattheduck

5

271

27 янв 2021, 20:10

Неопределенный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

351w

2

450

29 мар 2018, 06:10

Неопределенный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

351w

9

279

19 дек 2020, 21:59

Неопределённый интеграл

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Buffon

4

329

22 мар 2015, 21:11

Неопределённый интеграл

в форуме Интегральное исчисление

jagdish

3

601

29 сен 2018, 12:41


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved