Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Integral
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=14406
Страница 1 из 1

Автор:  jagdish [ 05 фев 2012, 16:44 ]
Заголовок сообщения:  Integral

[math]\displaystyle \int\frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x+1}dx[/math]

Автор:  Uncle Fedor [ 05 фев 2012, 17:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Integral

Данный интеграл можно вычислить, используя стандартные приёмы. Наверняка есть способ покороче, чем этот.
[math]\begin{gathered} I = \int {\frac{{\sqrt {x^2 + x + 1} }}{{x + 1}}dx} = \int {\frac{{x^2 + x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt {x^2 + x + 1} }}dx} = \int {\frac{{x\left( {x + 1} \right) + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt {x^2 + x + 1} }}dx} = \hfill \\ \int {\left( {\frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt {x^2 + x + 1} }} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt {x^2 + x + 1} }}} \right)dx = } \underbrace {\int {\frac{x}{{\sqrt {x^2 + x + 1} }}dx} }_{I_1 } + \underbrace {\int {\frac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt {x^2 + x + 1} }}} }_{I_2 }. \hfill \\ I_1 = \frac{1}{2}\int {\frac{{2x + 1 - 1}}{{\sqrt {x^2 + x + 1} }}dx} = \frac{1}{2}\left( {\int {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt {x^2 + x + 1} }}dx} - \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x^2 + x + 1} }}} } \right) = \hfill \\ = \frac{1}{2}\left( {\int {\frac{{d\left( {x^2 + x + 1} \right)}}{{\sqrt {x^2 + x + 1} }}dx} - \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2 + \frac{3}{4}} }}} } \right) = ... \hfill \\ I_2 = \left[ {x + 1 = \frac{1}{t} \Rightarrow x = \frac{1}{t} - 1 \Rightarrow dx = - \frac{{dt}}{{t^2 }}} \right] = \int {\frac{{ - \frac{{dt}}{{t^2 }}}}{{\frac{1}{t} \cdot \sqrt {\left( {\frac{1}{t} - 1} \right)^2 + \frac{1}{t} - 1 + 1} }}} = - \int {\frac{{dt}}{{\sqrt {t^2 - t - 1} }} = } \hfill \\ = - \int {\frac{{dt}}{{\sqrt {\left( {t - \frac{1}{2}} \right)^2 - \frac{5}{4}} }} = ...} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/