Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| patr |
|
|
|
от 0 до бесконечности [math]\frac {sin(x^p)}{\ln(x+1)}dx[/math] Если разложить в ряд тейлора [math]sin(x^p)=x^p[/math] , а [math]\ln(x+1)=x[/math] Тогда получится [math]\frac{1}{p}x^p[/math] от 0 до бесконечности Я правильно хотя бы делаю? и что дальше? |
||
| Вернуться к началу | ||
| Shaman |
|
|
|
Вы крайне своеобразно понимаете разложение в ряд Тейлора )
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Shaman |
|
|
|
Попробуйте следующую идею для p=1, потом её можно обобщить:
Разбить луч [0-oo) на интервалы размером Pi, и рассмотреть интеграл как бесконечную сумму знакочередующегося ряда. [math]\int\limits_0^\infty {\frac{{\sin (x)}}{{\ln (1 + x)}}dx} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\int\limits_{n \cdot \pi }^{(n + 1) \cdot \pi } {\frac{{\sin (x)}}{{\ln (1 + x)}}dx} }[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| Prokop |
|
|
|
Полезно выполнить замену переменной [math]x^p = t[/math] при [math]p \ne 0[/math] и использовать признак Дирихле сходимости несобственного интеграла.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| patr |
|
|
|
Shaman писал(а): Вы крайне своеобразно понимаете разложение в ряд Тейлора ) Простите, а что не так в моем разложении? после замены [math]x^p=t[/math] [math]dt=px^{p-1}dx[/math] будет [math]\int\limits_0^\infty \frac{t^{\frac{1}{p}-1}sint}{p\ln(t^{\frac{1}{p}}+1)}dt[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| Shaman |
|
|
|
patr писал(а): Простите, а что не так в моем разложении? Вы не можете применять такие замены для интегрирования, они используются для определения поведения функции в окрестности точки разложения. Впрочем, в данном случае это пригодится: кроме бесконечности Вы должны определить сходимость интеграла и вблизи x=0 |
||
| Вернуться к началу | ||
| patr |
|
|
|
я подсавил-то хоть верно? То, что синус ограничен я согласен, а где взять функцию, стремящуюся к нулю? Чтобы признак Дирихле использовать?
|
||
| Вернуться к началу | ||
| AStriker |
|
|
|
Доброго времени суток. Проверьте меня пожалуйста..
Исследовать несобственный интеграл на сходимость. [math]\int_{ - 1}^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{x^2 + x + 1}}}[/math] [math]\int_{ - 1}^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{x^2 + x + 1}}} = \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \int_{ - 1}^b {\frac{{dx}}{{x^2 + x + 1}}}[/math] выделяем полный квадрат: [math]\begin{gathered}x^2 + x + 1 = 0 \hfill \\x^2 + 2x\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 = \left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2 + \frac{3}{4} \hfill \\ \end{gathered}[/math] [math]\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \int_{ - 1}^b {\frac{{dx}}{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2 + \frac{3}{4}}} = } \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \frac{2}{{\sqrt 3 }}arctg\frac{{2x + 1}}{{\sqrt 3 }}\mathop |\nolimits_{ - 1}^b = \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}arctg\frac{{2b + 1}}{{\sqrt 3 }} + \frac{2}{{\sqrt 3 }}arctg\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{{3\sqrt 3 }}[/math] Интеграл сходится. Но ответ в вольфраме там ещё 4 в числителе стоит.. Где я ошибся? ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| AStriker |
|
|
|
Ой! Понял. арктангенс бесконечности это есть пи/2
ответ\[math]\frac{{4\pi }}{{3\sqrt 3 }}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 9 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Сходимость интеграла
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
262 |
21 ноя 2017, 13:49 |
|
|
Сходимость интеграла
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
343 |
21 май 2019, 18:21 |
|
|
Сходимость интеграла
в форуме Интегральное исчисление |
10 |
521 |
12 июн 2022, 14:44 |
|
|
Сходимость интеграла
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
299 |
27 янв 2016, 07:54 |
|
|
Сходимость интеграла
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
196 |
28 апр 2019, 16:50 |
|
|
Сходимость интеграла
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
318 |
08 июн 2018, 11:58 |
|
|
Сходимость интеграла
в форуме Интегральное исчисление |
5 |
316 |
18 июн 2018, 15:53 |
|
|
Сходимость несобственного интеграла
в форуме Ряды |
4 |
281 |
08 апр 2021, 22:49 |
|
|
Сходимость двойного интеграла
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
514 |
20 июл 2019, 22:58 |
|
|
Исследование интеграла на сходимость
в форуме Интегральное исчисление |
5 |
363 |
13 мар 2017, 23:25 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |