Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 03 фев 2012, 09:05 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
17 ноя 2011, 16:06
Сообщений: 59
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
4 раз в 4 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Исследовать интеграл на сходимость при различных значениях параметра p:
от 0 до бесконечности [math]\frac {sin(x^p)}{\ln(x+1)}dx[/math]
Если разложить в ряд тейлора [math]sin(x^p)=x^p[/math] , а [math]\ln(x+1)=x[/math]
Тогда получится [math]\frac{1}{p}x^p[/math] от 0 до бесконечности
Я правильно хотя бы делаю? и что дальше?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 03 фев 2012, 09:26 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
08 дек 2011, 14:50
Сообщений: 1542
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
630 раз в 536 сообщениях
Очков репутации: 258

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вы крайне своеобразно понимаете разложение в ряд Тейлора )

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 03 фев 2012, 09:57 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
08 дек 2011, 14:50
Сообщений: 1542
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
630 раз в 536 сообщениях
Очков репутации: 258

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Попробуйте следующую идею для p=1, потом её можно обобщить:
Разбить луч [0-oo) на интервалы размером Pi, и рассмотреть интеграл как бесконечную сумму знакочередующегося ряда.
[math]\int\limits_0^\infty {\frac{{\sin (x)}}{{\ln (1 + x)}}dx} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\int\limits_{n \cdot \pi }^{(n + 1) \cdot \pi } {\frac{{\sin (x)}}{{\ln (1 + x)}}dx} }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 03 фев 2012, 10:15 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Полезно выполнить замену переменной [math]x^p = t[/math] при [math]p \ne 0[/math] и использовать признак Дирихле сходимости несобственного интеграла.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 03 фев 2012, 10:35 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
17 ноя 2011, 16:06
Сообщений: 59
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
4 раз в 4 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shaman писал(а):
Вы крайне своеобразно понимаете разложение в ряд Тейлора )

Простите, а что не так в моем разложении?
после замены [math]x^p=t[/math] [math]dt=px^{p-1}dx[/math]
будет [math]\int\limits_0^\infty \frac{t^{\frac{1}{p}-1}sint}{p\ln(t^{\frac{1}{p}}+1)}dt[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 03 фев 2012, 11:29 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
08 дек 2011, 14:50
Сообщений: 1542
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
630 раз в 536 сообщениях
Очков репутации: 258

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
patr писал(а):
Простите, а что не так в моем разложении?

Вы не можете применять такие замены для интегрирования, они используются для определения поведения функции в окрестности точки разложения.
Впрочем, в данном случае это пригодится: кроме бесконечности Вы должны определить сходимость интеграла и вблизи x=0

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 03 фев 2012, 18:03 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
17 ноя 2011, 16:06
Сообщений: 59
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
4 раз в 4 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
я подсавил-то хоть верно? То, что синус ограничен я согласен, а где взять функцию, стремящуюся к нулю? Чтобы признак Дирихле использовать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 12 фев 2012, 11:17 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
25 ноя 2011, 13:10
Сообщений: 81
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток. Проверьте меня пожалуйста..

Исследовать несобственный интеграл на сходимость.
[math]\int_{ - 1}^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{x^2 + x + 1}}}[/math]


[math]\int_{ - 1}^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{x^2 + x + 1}}} = \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \int_{ - 1}^b {\frac{{dx}}{{x^2 + x + 1}}}[/math]

выделяем полный квадрат:
[math]\begin{gathered}x^2 + x + 1 = 0 \hfill \\x^2 + 2x\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 = \left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2 + \frac{3}{4} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

[math]\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \int_{ - 1}^b {\frac{{dx}}{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2 + \frac{3}{4}}} = } \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \frac{2}{{\sqrt 3 }}arctg\frac{{2x + 1}}{{\sqrt 3 }}\mathop |\nolimits_{ - 1}^b = \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}arctg\frac{{2b + 1}}{{\sqrt 3 }} + \frac{2}{{\sqrt 3 }}arctg\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{{3\sqrt 3 }}[/math]

Интеграл сходится. Но ответ в вольфраме там ещё 4 в числителе стоит.. Где я ошибся? :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 12 фев 2012, 11:21 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
25 ноя 2011, 13:10
Сообщений: 81
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ой! Понял. арктангенс бесконечности это есть пи/2 :) ответ\
[math]\frac{{4\pi }}{{3\sqrt 3 }}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сходимость интеграла

в форуме Интегральное исчисление

murza

1

262

21 ноя 2017, 13:49

Сходимость интеграла

в форуме Интегральное исчисление

constantin01

3

343

21 май 2019, 18:21

Сходимость интеграла

в форуме Интегральное исчисление

rivan1

10

521

12 июн 2022, 14:44

Сходимость интеграла

в форуме Интегральное исчисление

sfanter

0

299

27 янв 2016, 07:54

Сходимость интеграла

в форуме Интегральное исчисление

constantin01

1

196

28 апр 2019, 16:50

Сходимость интеграла

в форуме Интегральное исчисление

Ekaterina_9_9

3

318

08 июн 2018, 11:58

Сходимость интеграла

в форуме Интегральное исчисление

santdeonis

5

316

18 июн 2018, 15:53

Сходимость несобственного интеграла

в форуме Ряды

tanyhaftv

4

281

08 апр 2021, 22:49

Сходимость двойного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

this_one_heart

3

514

20 июл 2019, 22:58

Исследование интеграла на сходимость

в форуме Интегральное исчисление

Periel

5

363

13 мар 2017, 23:25


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved