Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

найти объем тела ограничевающими его поверхностями
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=14351
Страница 1 из 1

Автор:  sasha_assassin [ 02 фев 2012, 21:51 ]
Заголовок сообщения:  найти объем тела ограничевающими его поверхностями

решить задачуИзображение

Автор:  Shaman [ 03 фев 2012, 07:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти объем тела ограничевающими его поверхностями

Пересекаются эллипсоид и параболоид.
Условие можно понимать двояко: отрезанная часть эллипсоида или оставшаяся.
Для "верхнего" случая:
[math]V = \int\limits_{ - \sqrt {\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}} }^{\sqrt {\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}} } {dy\int\limits_{ - \sqrt {\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} - {y^2}} }^{\sqrt {\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} - {y^2}} } {dx\int\limits_{4 \cdot {x^2} + {y^2}}^{\sqrt {1 - 4 \cdot {x^2} - {y^2}} } {1\,dz} } }[/math]

Если будете переходить к полярным координатам, то осторожно: проверьте, что на кольце границы не перекрещиваются.

Автор:  SzaryWilk [ 03 фев 2012, 14:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти объем тела ограничевающими его поверхностями

[math]4x^2+y^2+z^2=1[/math] - эллипсоид
[math]z=4x^2+y^2[/math] - параболоид

Вычислим объем части тела, лежащей над поверхностью [math]z=4x^2+y^2[/math], то есть [math]z\geq 4x^2+y^2[/math]

Изображение



Введем полярные координаты

[math]2x=r\cos \theta[/math]
[math]y=r\sin\theta[/math]
[math]z=z[/math]

[math]J=\frac{1}{2}r[/math]

В этих координатах уравнения поверхностей принимают соответственно вид

[math]r^2+z^2=1[/math]

[math]z=r^2[/math]

Находим кривую пересечения данных поверхностей:

[math]r^4+r^2-1=0[/math]

[math]r=\sqrt{\frac{\sqrt 5 -1}{2}[/math]

Следовательно,

[math]\theta\in[0;2\pi],\quad r\in(0; \sqrt{\frac{\sqrt 5 -1}{2}}],\quad z\in[r^2; \sqrt{1-r^2}][/math]

и

[math]|V|=\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt{\frac{\sqrt 5 -1}{2}}}\int_{r^2}^{\sqrt{1-r^2}}\frac{1}{2}r\;dzdrd\theta[/math]


[math]=\pi\int_0^{\sqrt{\frac{\sqrt 5 -1}{2}}}(r\sqrt{1-r^2}-r^3)dr=.....=\frac{5}{24}\pi (3-\sqrt 5)[/math]

Автор:  sasha_assassin [ 03 фев 2012, 19:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти объем тела ограничевающими его поверхностями

А можно ли чуть чуть по подробнее?

Заранее спасибо.

И скажи, пожалуйста, SzaryWilk, в какой программе ты это находила?

Автор:  Shaman [ 03 фев 2012, 22:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти объем тела ограничевающими его поверхностями

sasha_assassin писал(а):
и скажи пожалуйста SzaryWilk в какой программе ты это находила?

В голове у SzaryWilk находится компьютер, которого ещё не изобрели :)

Автор:  SzaryWilk [ 04 фев 2012, 05:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти объем тела ограничевающими его поверхностями

sasha_assassin писал(а):
А можно ли чуть чуть по подробнее?

Заранее спасибо.

И скажи, пожалуйста, SzaryWilk, в какой программе ты это находила?

А что именно не понятно? Я вроде всё расписала... :witch:
Программе? Никакой программой я не пользовалась.

Автор:  sasha_assassin [ 04 фев 2012, 08:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти объем тела ограничевающими его поверхностями

SzaryWilk извини за то что побеспокоил :oops: . уже разобрался :crazy: . вчера вечером голова не работала :D1

Автор:  SzaryWilk [ 04 фев 2012, 16:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти объем тела ограничевающими его поверхностями

sasha_assassin писал(а):
SzaryWilk извини за то что побеспокоил :oops: . уже разобрался :crazy: . вчера вечером голова не работала :D1


Да всё нормально :) Форум ведь создан для того, чтобы "беспокоить" других! :witch:

Автор:  sasha_assassin [ 04 фев 2012, 19:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти объем тела ограничевающими его поверхностями

SzaryWilk а помоги тогда еще примерчик решить(точнее 2 :D)Изображение
Изображение
без них не допускают в институте до экзамена и дома расстреливают((. а с понедельника уже следующий семестр начинается :haos: :crazy:

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/