| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=14256 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | nok [ 30 янв 2012, 20:54 ] |
| Заголовок сообщения: | Вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями |
помогите пожалуйста решить Вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость x o y. z = 0, z − 4 + x + y = 0, x^2 + y^2 = 4. |
|
| Автор: | igor_vis [ 30 янв 2012, 21:12 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями |
решу устно - ответ 16*пи *********** цилиндр радиуса 2, нижнее основание - круг в плоскости z=0 верхнее основание - эллипс, ось цилиндра пересекает эллипс при z=4 ********** V=h*S=4*пи*2^2 = 16 пи ********** понятно, что препод не поймет вычисление на пальцах тогда тройной интеграл Вам в помощь ![]() Удачи ! |
|
| Автор: | nok [ 30 янв 2012, 22:15 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями |
спасибо большое)))) |
|
| Автор: | vvvv [ 30 янв 2012, 23:00 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями |
А вот и картинка.
|
|
| Автор: | nok [ 30 янв 2012, 23:34 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями |
а можно решение попроще рассписать???? а то не всё понятно... |
|
| Автор: | igor_vis [ 31 янв 2012, 09:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями |
nok писал(а): а можно решение попроще рассписать???? а то не всё понятно... при решении я пытался упростить громоздкие вычисления и с этой целью я разбивал интегралы на суммы (и разности) и вводил вспомогательные символы, некоторые вычисления просто проигнорировал, потому что в ответе будет ноль. Если Вам непонятна какая-то строка - напишите ее номер, я поясню ее или распишу по-другому |
|
| Автор: | Yurik [ 31 янв 2012, 10:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями |
Думаю, в цилиндрических координатах проще. [math]\begin{gathered} V = \iint\limits_{{x^2} + {y^2} \leqslant 4} {dxdy}\int\limits_0^{4 - x - y} {dz} = \int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_0^2 {rdr} \int\limits_0^{4 - r\left( {\sin \varphi + \cos \varphi } \right)} {dz} = \int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_0^2 {\left( {4r - {r^2}\left( {\sin \varphi + \cos \varphi } \right)} \right)dr} = \hfill \\ = \int\limits_0^{2\pi } {\left. {\left( {2{r^2} - \frac{{{r^3}}}{3}\left( {\sin \varphi + \cos \varphi } \right)} \right)} \right|_0^2d\varphi } = \int\limits_0^{2\pi } {\left( {8 - \frac{8}{3}\left( {\sin \varphi + \cos \varphi } \right)} \right)d\varphi } = \hfill \\ \end{gathered}[/math] [math]= \left. {\left( {8\varphi - \frac{8}{3}\left( { - \cos \varphi + \sin \varphi } \right)} \right)} \right|_0^{2\pi } = 16\pi + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} = 16\pi[/math] (единиц объёма). |
|
| Автор: | Shaman [ 31 янв 2012, 10:19 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями |
Можно ещё проще: В данном случае из чертёжа ясно что это за фигура. Объём плоско обрезанной колонны не зависит от того как её обрезать, достаточно знать высоту центра среза. Так вы можете проверить себя, просто вычислив объём цилиндра высотой 4: V = Pi * R^2 * H |
|
| Автор: | Yurik [ 31 янв 2012, 10:34 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями |
Shaman
|
|
| Автор: | igor_vis [ 31 янв 2012, 11:01 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями |
Shaman писал(а): Можно ещё проще: В данном случае из чертёжа ясно что это за фигура. Объём плоско обрезанной колонны не зависит от того как её обрезать, достаточно знать высоту центра среза. Так вы можете проверить себя, просто вычислив объём цилиндра высотой 4: V = Pi * R^2 * H напомню ув. Shaman как выглядело начало моего ответа на этот вопрос igor_vis писал(а): решу устно - ответ 16*пи
*********** цилиндр радиуса 2, нижнее основание - круг в плоскости z=0 верхнее основание - эллипс, ось цилиндра пересекает эллипс при z=4 ********** V=h*S=4*пи*2^2 = 16 пи ********** ...... |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|