Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты.
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=14196
Страница 1 из 1

Автор:  SVE [ 29 янв 2012, 15:14 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты.

Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты.

Вложения:
3.jpg
3.jpg [ 13.92 Кб | Просмотров: 42 ]

Автор:  Alexdemath [ 05 фев 2012, 22:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты.

SVE, область интегрирования - это половина круга [math]x^2+y^2\leqslant4[/math] радиуса 2, которая лежит в первом и четвёртом квадрантах.

[math]\begin{aligned}\int\limits_0^2 dx & \int\limits_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\frac{dy}{1+x^2+y^2}= \left\{\begin{gathered}x=r\cos\varphi,\hfill\\ y=r\sin\varphi\hfill\\|J|=r \hfill\end{gathered}\right\} = \int\limits_{\tfrac{3\pi}{2}}^{\tfrac{5\pi}{2}}d\varphi \int\limits_0^2 \frac{r\,dr}{1+r^2}= \\[2pt] &=\left(\frac{5\pi}{2}- \frac{3\pi}{2}\right)\frac{1}{2}\int\limits_0^2 \frac{d(1+r^2)}{1+r^2}=\left.{\frac{\pi}{2}\ln(1+r^2)}\right|_0^2= \frac{\pi}{2}(\ln5-\ln1)=\frac{\pi}{2}\ln 5\end{aligned}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/