| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты. http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=14196 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Alexdemath [ 05 фев 2012, 22:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты. |
SVE, область интегрирования - это половина круга [math]x^2+y^2\leqslant4[/math] радиуса 2, которая лежит в первом и четвёртом квадрантах. [math]\begin{aligned}\int\limits_0^2 dx & \int\limits_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\frac{dy}{1+x^2+y^2}= \left\{\begin{gathered}x=r\cos\varphi,\hfill\\ y=r\sin\varphi\hfill\\|J|=r \hfill\end{gathered}\right\} = \int\limits_{\tfrac{3\pi}{2}}^{\tfrac{5\pi}{2}}d\varphi \int\limits_0^2 \frac{r\,dr}{1+r^2}= \\[2pt] &=\left(\frac{5\pi}{2}- \frac{3\pi}{2}\right)\frac{1}{2}\int\limits_0^2 \frac{d(1+r^2)}{1+r^2}=\left.{\frac{\pi}{2}\ln(1+r^2)}\right|_0^2= \frac{\pi}{2}(\ln5-\ln1)=\frac{\pi}{2}\ln 5\end{aligned}[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|