Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Опр. и неопр. интеграл. Интеграл с заменой и по частям.
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=14168
Страница 1 из 2

Автор:  Anna11 [ 28 янв 2012, 20:32 ]
Заголовок сообщения:  Опр. и неопр. интеграл. Интеграл с заменой и по частям.

Изображение
не могу вычислить интегралы. если можно помогите пожалуйста. спасибо.

Автор:  f3b4c9083ba91 [ 29 янв 2012, 09:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Опр. и неопр. интеграл. Интеграл с заменой и по частям.

Вы таблицу интегралов видели?

Автор:  Yurik [ 29 янв 2012, 09:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Опр. и неопр. интеграл. Интеграл с заменой и по частям.

[math]\begin{gathered} \int\limits_{ - 2}^5 {\frac{{dx}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}}}} = \left| \begin{gathered} t = x + 3 \hfill \\ dt = dx \hfill \\ t\left( { - 2} \right) = 1;\,\,t\left( 5 \right) = 8 \hfill \\ \end{gathered} \right| = \int\limits_1^8 {{t^{ - \frac{2}{3}}}dt} = 3\left. {\sqrt[3]{t}} \right|_1^8 = 3\left( {2 - 1} \right) = 3 \hfill \\ \int_{}^{} {{x^2}\ln xdx} = \left| \begin{gathered} u = \ln x\,\, = > \,\,du = \frac{{dx}}{x} \hfill \\ dv = {x^2}dx\,\, = > \,\,v = \frac{{{x^3}}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right| = \frac{{{x^3}}}{3}\ln x - \frac{1}{3}\int_{}^{} {{x^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3}\ln x - \frac{{{x^3}}}{9} + C = \frac{{{x^3}}}{9}\left( {3\ln x - 1} \right) + C \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  Anna11 [ 29 янв 2012, 17:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Опр. и неопр. интеграл. Интеграл с заменой и по частям.

Таблицу интегралов видела. Давно, когда сама училась. Что-то и сама могу сделать, но очень уж сомневаюсь, без проверки никак, а вот второй из этих пяти, с синусом, никак не получается.

Автор:  Anna11 [ 29 янв 2012, 17:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Опр. и неопр. интеграл. Интеграл с заменой и по частям.

Yurik писал(а):
[math]\begin{gathered} \int\limits_{ - 2}^5 {\frac{{dx}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}}}} = \left| \begin{gathered} t = x + 3 \hfill \\ dt = dx \hfill \\ t\left( { - 2} \right) = 1;\,\,t\left( 5 \right) = 8 \hfill \\ \end{gathered} \right| = \int\limits_1^8 {{t^{ - \frac{2}{3}}}dt} = 3\left. {\sqrt[3]{t}} \right|_1^8 = 3\left( {2 - 1} \right) = 3 \hfill \\ \int_{}^{} {{x^2}\ln xdx} = \left| \begin{gathered} u = \ln x\,\, = > \,\,du = \frac{{dx}}{x} \hfill \\ dv = {x^2}dx\,\, = > \,\,v = \frac{{{x^3}}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right| = \frac{{{x^3}}}{3}\ln x - \frac{1}{3}\int_{}^{} {{x^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3}\ln x - \frac{{{x^3}}}{9} + C = \frac{{{x^3}}}{9}\left( {3\ln x - 1} \right) + C \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Почему промежутки интеграла меняются с -2 на 1,а 5 на 8. Понятно, что при вычилении так получается, а по какому правилу? Спасибо.

Автор:  f3b4c9083ba91 [ 29 янв 2012, 18:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Опр. и неопр. интеграл. Интеграл с заменой и по частям.

Изображение

Автор:  SzaryWilk [ 29 янв 2012, 19:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Опр. и неопр. интеграл. Интеграл с заменой и по частям.

Или так:

[math]\int\frac{dx}{\sin x}=\int\frac{\sin x}{\sin x\sin x}dx=\int\frac{\sin x \;dx}{1-\cos^2 x}=|t=\cos x,\;dt=-\sin x\;dx|=[/math]


[math]=-\int\frac{1}{1-t^2}dt=-\frac{1}{2}\int\Big(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}\Big)dt=[/math]


[math]-\frac{1}{2}(\ln|1+t|-\ln|1-t|)+C=\frac{1}{2}\ln\Big|\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\Big|+C[/math]

Автор:  Yurik [ 29 янв 2012, 19:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Опр. и неопр. интеграл. Интеграл с заменой и по частям.

Или так
[math]\int_{}^{} {\frac{{dx}}{{\sin x}}} = \int_{}^{} {\frac{{dx}}{{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}}} = \int_{}^{} {\frac{{dx}}{{2tg\frac{x}{2}{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}} = \int_{}^{} {\frac{{d\,\left( {tg\frac{x}{2}} \right)}}{{tg\frac{x}{2}}}} = \ln \left| {tg\frac{x}{2}} \right| + C[/math]

:D1

Автор:  Anna11 [ 30 янв 2012, 17:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Опр. и неопр. интеграл. Интеграл с заменой и по частям.

Спасибо всем большое. Объясните пожалуйста ещё:
Anna11 писал(а):
Yurik писал(а):
[math]\begin{gathered} \int\limits_{ - 2}^5 {\frac{{dx}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}}}} = \left| \begin{gathered} t = x + 3 \hfill \\ dt = dx \hfill \\ t\left( { - 2} \right) = 1;\,\,t\left( 5 \right) = 8 \hfill \\ \end{gathered} \right| = \int\limits_1^8 {{t^{ - \frac{2}{3}}}dt} = 3\left. {\sqrt[3]{t}} \right|_1^8 = 3\left( {2 - 1} \right) = 3 \hfill \\ \int_{}^{} {{x^2}\ln xdx} = \left| \begin{gathered} u = \ln x\,\, = > \,\,du = \frac{{dx}}{x} \hfill \\ dv = {x^2}dx\,\, = > \,\,v = \frac{{{x^3}}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right| = \frac{{{x^3}}}{3}\ln x - \frac{1}{3}\int_{}^{} {{x^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3}\ln x - \frac{{{x^3}}}{9} + C = \frac{{{x^3}}}{9}\left( {3\ln x - 1} \right) + C \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Почему промежутки интеграла меняются с -2 на 1,а 5 на 8. Понятно, что при вычилении так получается, а по какому правилу? Спасибо.

Автор:  Yurik [ 30 янв 2012, 18:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Опр. и неопр. интеграл. Интеграл с заменой и по частям.

И что непонятного? [math]t=x+3 => t(-2)=-2+3=1, t(5)=2+3=8.[/math]

Какое ещё правило? Всё очевидно.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/