Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

С помощью двойного интеграла вычислить объём тела
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=14154
Страница 1 из 2

Автор:  jokerlady [ 28 янв 2012, 14:57 ]
Заголовок сообщения:  С помощью двойного интеграла вычислить объём тела

С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями
z=0; 4z=y^2; 2x-y=0; x+y=9

Автор:  Yurik [ 28 янв 2012, 15:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: С помощью двойного интеграла вычислить объём тела

[math]\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x + y = 9 \hfill \\ 2x - y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\, = > \,\,\,\left\{ \begin{gathered} x + y = 9 \hfill \\ 3x = 9 \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\, = > \,\,\,\left\{ \begin{gathered} y = 6 \hfill \\ x = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ V = \int\limits_0^6 {dy} \int\limits_{\frac{y}{2}}^{9 - y} {\frac{{{y^2}}}{4}dx} = \frac{1}{4}\int\limits_0^6 {{y^2}\left( {9 - y - \frac{y}{2}} \right)dy} = \frac{1}{4}\int\limits_0^6 {\left( {9{y^2} - \frac{{3{y^3}}}{2}} \right)dy} = \hfill \\ \end{gathered}[/math]
[math]= \frac{1}{4}\left. {\left( {3{y^3} - \frac{{3{y^4}}}{8}} \right)} \right|_0^6 = \frac{1}{4}\left( {648 - 486} \right) = \frac{{61}}{2}[/math] (единиц объёма).

Автор:  jokerlady [ 28 янв 2012, 15:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: С помощью двойного интеграла вычислить объём тела

Спасибо большое!!! А как будет выглядеть график?
там вроде гиперболический параболоид получается, а с прямыми что-то не разберусь никак... и что за фигура получится в системе ХоУ?

Автор:  Yurik [ 28 янв 2012, 15:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: С помощью двойного интеграла вычислить объём тела

Где- то ошибка, пытаюсь исправить.

Изображение

Вот график проекции. Интеграл опять буду исправлять, пределы внешнего интеграла неправильные. Эти две заданные прямые - плоскости параллельные оси Oz, которые ограничивают параболический цилиндр [math]4z=y^2[/math]

Автор:  Yurik [ 28 янв 2012, 16:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: С помощью двойного интеграла вычислить объём тела

Вот так.
[math]V = \int\limits_0^9 {dy} \int\limits_{\frac{y}{2}}^{9 - y} {\frac{{{y^2}}}{4}dx} = \frac{1}{4}\int\limits_0^9 {{y^2}\left( {\frac{y}{2} - 9 + y} \right)dy} = \frac{1}{4}\int\limits_0^9 {\left( {\frac{{3{y^3}}}{2} - 9{y^2}} \right)dy} =[/math]
[math]= \frac{1}{4}\left. {\left( {\frac{{3{y^4}}}{8} - 3{y^3}} \right)} \right|_0^9 = \frac{1}{4}\left( {2460.375 - 2187} \right) = 68.34375[/math] (единиц объёма)

Проверяй арифметику!

Автор:  jokerlady [ 28 янв 2012, 17:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: С помощью двойного интеграла вычислить объём тела

спасибо!

Автор:  vvvv [ 28 янв 2012, 23:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: С помощью двойного интеграла вычислить объём тела

По-моему, будет так. См.картинку.
Изображение

Автор:  jokerlady [ 29 янв 2012, 06:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: С помощью двойного интеграла вычислить объём тела

Внешний интеграл от 0 до 9 должен быть, а не до 6...Но это не суть)
получается, что на ХоY треугольник разбивается на две области?

Автор:  Yurik [ 29 янв 2012, 08:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: С помощью двойного интеграла вычислить объём тела

Внешний интеграл должен быть dy, и тогда не нужно будет разбивать на два треугольника, и интеграл будет только один, а не два. А пределы внешнего интеграла - от 0 до 6. Вот исправленная проекция.
Изображение
И правильное решение в моём первом посте, там только в конце опечатка. Повторю.
[math]\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x + y = 9 \hfill \\ 2x - y = 0{\kern 1pt} \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\, = > \,\,\,\left\{ \begin{gathered} {\kern 1pt} x + y = 9 \hfill \\ 3x = 9 \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\, = > \,\,\,\left\{ \begin{gathered} {\kern 1pt} y = 6 \hfill \\ x = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} V = \int\limits_0^6 {dy} \int\limits_{\frac{y}{2}}^{9 - y} {\frac{{{y^2}}}{4}dx} = \frac{1}{4}\int\limits_0^6 {{y^2}\left( {9 - y - \frac{y}{2}} \right)dy} = \frac{1}{4}\int\limits_0^6 {\left( {9{y^2} - \frac{{3{y^3}}}{2}} \right)dy} = \hfill \\ \end{gathered}[/math]
[math]= \frac{1}{4}\left. {\left( {3{y^3} - \frac{{3{y^4}}}{8}} \right)} \right|_0^6 = \frac{1}{4}\left( {648 - 486} \right) = \frac{{81}}{2}[/math] (единиц объёма).

Автор:  vvvv [ 29 янв 2012, 12:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: С помощью двойного интеграла вычислить объём тела

Yurik писал(а):
Внешний интеграл должен быть dy, и тогда не нужно будет разбивать на два треугольника, и интеграл будет только один, а не два. А пределы внешнего интеграла - от 0 до 6. Вот исправленная проекция.
Изображение
И правильное решение в моём первом посте, там только в конце опечатка. Повторю.
[math]\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x + y = 9 \hfill \\ 2x - y = 0{\kern 1pt} \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\, = > \,\,\,\left\{ \begin{gathered} {\kern 1pt} x + y = 9 \hfill \\ 3x = 9 \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\, = > \,\,\,\left\{ \begin{gathered} {\kern 1pt} y = 6 \hfill \\ x = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} V = \int\limits_0^6 {dy} \int\limits_{\frac{y}{2}}^{9 - y} {\frac{{{y^2}}}{4}dx} = \frac{1}{4}\int\limits_0^6 {{y^2}\left( {9 - y - \frac{y}{2}} \right)dy} = \frac{1}{4}\int\limits_0^6 {\left( {9{y^2} - \frac{{3{y^3}}}{2}} \right)dy} = \hfill \\ \end{gathered}[/math]
[math]= \frac{1}{4}\left. {\left( {3{y^3} - \frac{{3{y^4}}}{8}} \right)} \right|_0^6 = \frac{1}{4}\left( {648 - 486} \right) = \frac{{81}}{2}[/math] (единиц объёма).

Ч.Т.Д. :D1

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/