| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Координаты центра масс (циклоида и астроида) http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=13972 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Scout [ 24 янв 2012, 01:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Координаты центра масс (циклоида и астроида) |
Здравствуйте, уважаемые. Прошу советов в следующей задаче: Посчитать центр масс области [math]G[/math], ограниченной a) осью [math]Ox[/math] аркой циклоиды [math]x = a(t - \sin t), y = a(1 - \cos t), (0 \leqslant t \leqslant 2\pi)[/math]; б) осями координат и дугой астроиды [math]x = a \cos^3 t, y = a \sin^3 t, (0 \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{2})[/math]. Задачу надо решить с помощью двойных интегралов. В случае с циклоидой следует вкрутить, так сказать, "циклоидальную" замену: арка циклоиды должна заполняться малыми циклоидами, которые наслаиваясь друг на друга, заметают полностью всю область [math]G[/math]. В данном случае, малые арки циклоиды задаются с помощью параметра [math]a, 0\leqslant a \leqslant 1[/math]- т.е., радиусом катящейся окружности. Арка циклоиды, ограничивающая область [math]G[/math] образована качением единичной окружности, [math]a=1[/math]. С дугой астроиды в первом квадранте использовала замену. устроенную по аналогичному принципу, и получилось следующее: [math]x=a\cos^3 t, y=a\sin^3 t, (0 \leqslant t \leqslant \frac {\pi}{2}, 0 \leqslant a \leqslant 1)[/math] [math]J= a(3\sin^2 t \cos^4 t + 3\sin^4 t \cos^2 t)[/math] [math]S=\int_{0}^{1} da \int_{0}^{\frac {\pi}{2}}a(3\sin^2 t \cos^4 t + 3\sin^4 t \cos^2 t) dt= \frac {3\pi}{16}[/math] [math]x_C=\frac {16}{3\pi} \int_{0}^{1} da \int_{0}^{\frac {\pi}{2}} a\cos^3 t [a(3\sin^2 t \cos^4 t + 3\sin^4 t \cos^2 t)] dt=\frac {128}{189\pi}[/math] [math]y_C=\frac {16}{3\pi} \int_{0}^{1} da \int_{0}^{\frac {\pi}{2}} a\sin^3 t [a(3\sin^2 t \cos^4 t + 3\sin^4 t \cos^2 t)] dt=\frac {128}{135\pi}[/math]. Я не знаю, правильно ли у меня все получилось,но смущает несимметричность координат (а астроида- симметричная фигура относительно осей координат). |
|
| Автор: | neurocore [ 24 янв 2012, 12:45 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Координаты центра масс (циклоида и астроида) |
2) [math]\begin{gathered} x = a{\cos ^3}t \hfill \\ y = a{\sin ^3}t \hfill \\ J = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\cos }^3}t} & { - 3a{{\cos }^2}t\sin t} \\ {{{\sin }^3}t} & {3a{{\sin }^2}t\cos t} \\ \end{array} } \right| = 3a{\sin ^2}t{\cos ^4}t + 3a{\sin ^4}t{\cos ^2}t \hfill \\ \end{gathered}[/math] [math]\begin{gathered} S = \int\limits_0^1 {3ada} \int\limits_0^{\pi/2}dt ({\sin ^2}t{\cos ^4}t + {\sin ^4}t{\cos ^2}t) = \int\limits_0^1 {3ada} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}t{{\cos }^2}tdt} ({\cos ^2}t + {\sin ^2}t) = \hfill \\ = \int\limits_0^1 {3ada} *B(1.5,1.5) = \int\limits_0^1 {3ada} *\frac{{\Gamma {{(1.5)}^2}}}{{\Gamma (3)}} = {(\sqrt \pi \frac{{1!!}}{{{2^1}}})^2}*\frac{1}{{2!}}*\frac{3}{2} = \frac{3}{{16}}\pi \hfill \\ \end{gathered}[/math] |
|
| Автор: | neurocore [ 24 янв 2012, 13:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Координаты центра масс (циклоида и астроида) |
[math]\begin{gathered} {M_x} = \int\limits_0^1 {3{a^2}da} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dt} {\cos ^3}t({\sin ^2}t{\cos ^4}t + {\sin ^4}t{\cos ^2}t) = \int\limits_0^1 {3{a^2}da} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dt} {\sin ^2}t{\cos ^5}t = \hfill \\ = \int\limits_0^1 {3{a^2}da} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {d(\sin t)} {\sin ^2}t{(1 - {\sin ^2}t)^2} = \left| {p = \sin t} \right| = \int\limits_0^1 {3{a^2}da} \int\limits_0^1 {{p^2}{{(1 - {p^2})}^2}dp} = \hfill \\ = \int\limits_0^1 {3{a^2}da} \int\limits_0^1 {({p^2} - 2{p^4} + {p^6})dp} = \int\limits_0^1 {3{a^2}da} \int\limits_0^1 {(\frac{1}{3}{p^3} - \frac{2}{5}{p^5} + \frac{1}{7}{p^7})dp} = \hfill \\ = \frac{1}{3} - \frac{2}{5} + \frac{1}{7} = \frac{{35 - 42 + 15}}{{3*5*7}} = \frac{8}{{105}} \hfill \\ \end{gathered}[/math] [math]\begin{gathered}M_y= \int\limits_0^1 {3{a^2}da} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dt} {\sin ^3}t({\sin ^2}t{\cos ^4}t + {\sin ^4}t{\cos ^2}t) = \int\limits_0^1 {3{a^2}da} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dt} {\sin ^5}t{\cos ^2}t = \hfill \\ = - \int\limits_0^1 {3{a^2}da} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {d(\cos t)} {\cos ^2}t{(1 - {\cos ^2}t)^2} = \left| {p = \cos t} \right| = - \int\limits_0^1 {3{a^2}da} int\limits_1^0 {{p^2}{{(1 - {p^2})}^2}dp} = \hfill \\ = \int\limits_0^1 {3{a^2}da} \int\limits_0^1 {{p^2}{{(1 - {p^2})}^2}dp} = \frac{8}{{105}} \hfill \\ \end{gathered}[/math] Ну а после вычислений координаты должны совпасть: [math]x_c=\frac{M_x}{S},\quad y_c=\frac{M_y}{S}[/math] |
|
| Автор: | neurocore [ 24 янв 2012, 13:16 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Координаты центра масс (циклоида и астроида) |
1) [math]\begin{gathered}x = a(t - \sin t) \hfill \\ y = a(1 - \cos t) \hfill \\ J = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {t - \sin t} & {a(1 - \cos t)} \\ {(1 - \cos t)} & {a\sin t} \\ \end{array} } \right| = at\sin t - {\sin ^2}t - a{\sin ^2}t = at\sin t - (a + 1){\sin ^2}t \hfill \\ S = \int\limits_0^1 {da} \int\limits_0^{2\pi } {dt} (at\sin t - (a + 1){\sin ^2}t) \hfill \\ {M_x} = \int\limits_0^1 {ada} \int\limits_0^{2\pi } {dt} (t - \sin t)(at\sin t - (a + 1){\sin ^2}t) \hfill \\ M_y= \int\limits_0^1 {ada} \int\limits_0^{2\pi } {dt} (1 - \cos t)(at\sin t - (a + 1){\sin ^2}t) \hfill \\ \end{gathered}[/math] Тут трудностей возникнуть не должно: интегрирование по частям, где t есть, ну и линейность интеграла используйте) |
|
| Автор: | neurocore [ 24 янв 2012, 13:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Координаты центра масс (циклоида и астроида) |
Мож я и ошибся в вычислениях) Но то, что координаты совпадают - это наверняка) |
|
| Автор: | Shaman [ 24 янв 2012, 13:44 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Координаты центра масс (циклоида и астроида) |
[math]\frac{{{X_c}}}{a} = \frac{{256}}{{\pi \cdot 315}} \approx {\text{0}}{\text{.25869}}[/math] Тоже правдоподобнее, чем 8/105 и даже 16/105
|
|
| Автор: | Scout [ 25 янв 2012, 01:40 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Координаты центра масс (циклоида и астроида) |
Большое спасибо всем за внимание и помощь! Надеюсь, задача оказалась для всех вас интересной. Однако, и это еще не последний вопрос в примере. Остается еще непонятным следующее: под интегралом в формуле для координаты центра масс участвует не просто якобиан, а модуль якобиана. Вопрос: почему мы этот модуль раскрываем как всюду положительное выражение? Почему в данном случае он больше нуля- не с точки зрения ориентации поверхности. Другими словами, как можно доказать, что модуль раскрывается с плюсом? С помощью неравенств, производной?... Доказать нужно обязательно. |
|
| Автор: | neurocore [ 25 янв 2012, 13:38 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Координаты центра масс (циклоида и астроида) |
Якобиан - это матрица. Модуль его - модуль матрицы, вычисляется по обычным правилам определителя. Ну а знак - в зависимости от параметра t, в данном случае. Если границы взяты правильно (пределы интегрирования), то знак должен быть положительным |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|