Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| Scout |
|
|
|
Прошу советов в следующей задаче: Посчитать центр масс области [math]G[/math], ограниченной a) осью [math]Ox[/math] аркой циклоиды [math]x = a(t - \sin t), y = a(1 - \cos t), (0 \leqslant t \leqslant 2\pi)[/math]; б) осями координат и дугой астроиды [math]x = a \cos^3 t, y = a \sin^3 t, (0 \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{2})[/math]. Задачу надо решить с помощью двойных интегралов. В случае с циклоидой следует вкрутить, так сказать, "циклоидальную" замену: арка циклоиды должна заполняться малыми циклоидами, которые наслаиваясь друг на друга, заметают полностью всю область [math]G[/math]. В данном случае, малые арки циклоиды задаются с помощью параметра [math]a, 0\leqslant a \leqslant 1[/math]- т.е., радиусом катящейся окружности. Арка циклоиды, ограничивающая область [math]G[/math] образована качением единичной окружности, [math]a=1[/math]. С дугой астроиды в первом квадранте использовала замену. устроенную по аналогичному принципу, и получилось следующее: [math]x=a\cos^3 t, y=a\sin^3 t, (0 \leqslant t \leqslant \frac {\pi}{2}, 0 \leqslant a \leqslant 1)[/math] [math]J= a(3\sin^2 t \cos^4 t + 3\sin^4 t \cos^2 t)[/math] [math]S=\int_{0}^{1} da \int_{0}^{\frac {\pi}{2}}a(3\sin^2 t \cos^4 t + 3\sin^4 t \cos^2 t) dt= \frac {3\pi}{16}[/math] [math]x_C=\frac {16}{3\pi} \int_{0}^{1} da \int_{0}^{\frac {\pi}{2}} a\cos^3 t [a(3\sin^2 t \cos^4 t + 3\sin^4 t \cos^2 t)] dt=\frac {128}{189\pi}[/math] [math]y_C=\frac {16}{3\pi} \int_{0}^{1} da \int_{0}^{\frac {\pi}{2}} a\sin^3 t [a(3\sin^2 t \cos^4 t + 3\sin^4 t \cos^2 t)] dt=\frac {128}{135\pi}[/math]. Я не знаю, правильно ли у меня все получилось,но смущает несимметричность координат (а астроида- симметричная фигура относительно осей координат). |
||
| Вернуться к началу | ||
| neurocore |
|
|
|
2)
[math]\begin{gathered} x = a{\cos ^3}t \hfill \\ y = a{\sin ^3}t \hfill \\ J = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\cos }^3}t} & { - 3a{{\cos }^2}t\sin t} \\ {{{\sin }^3}t} & {3a{{\sin }^2}t\cos t} \\ \end{array} } \right| = 3a{\sin ^2}t{\cos ^4}t + 3a{\sin ^4}t{\cos ^2}t \hfill \\ \end{gathered}[/math] [math]\begin{gathered} S = \int\limits_0^1 {3ada} \int\limits_0^{\pi/2}dt ({\sin ^2}t{\cos ^4}t + {\sin ^4}t{\cos ^2}t) = \int\limits_0^1 {3ada} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}t{{\cos }^2}tdt} ({\cos ^2}t + {\sin ^2}t) = \hfill \\ = \int\limits_0^1 {3ada} *B(1.5,1.5) = \int\limits_0^1 {3ada} *\frac{{\Gamma {{(1.5)}^2}}}{{\Gamma (3)}} = {(\sqrt \pi \frac{{1!!}}{{{2^1}}})^2}*\frac{1}{{2!}}*\frac{3}{2} = \frac{3}{{16}}\pi \hfill \\ \end{gathered}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю neurocore "Спасибо" сказали: Scout |
||
| neurocore |
|
|
|
[math]\begin{gathered} {M_x} = \int\limits_0^1 {3{a^2}da} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dt} {\cos ^3}t({\sin ^2}t{\cos ^4}t + {\sin ^4}t{\cos ^2}t) = \int\limits_0^1 {3{a^2}da} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dt} {\sin ^2}t{\cos ^5}t = \hfill \\ = \int\limits_0^1 {3{a^2}da} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {d(\sin t)} {\sin ^2}t{(1 - {\sin ^2}t)^2} = \left| {p = \sin t} \right| = \int\limits_0^1 {3{a^2}da} \int\limits_0^1 {{p^2}{{(1 - {p^2})}^2}dp} = \hfill \\ = \int\limits_0^1 {3{a^2}da} \int\limits_0^1 {({p^2} - 2{p^4} + {p^6})dp} = \int\limits_0^1 {3{a^2}da} \int\limits_0^1 {(\frac{1}{3}{p^3} - \frac{2}{5}{p^5} + \frac{1}{7}{p^7})dp} = \hfill \\ = \frac{1}{3} - \frac{2}{5} + \frac{1}{7} = \frac{{35 - 42 + 15}}{{3*5*7}} = \frac{8}{{105}} \hfill \\ \end{gathered}[/math]
[math]\begin{gathered}M_y= \int\limits_0^1 {3{a^2}da} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dt} {\sin ^3}t({\sin ^2}t{\cos ^4}t + {\sin ^4}t{\cos ^2}t) = \int\limits_0^1 {3{a^2}da} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dt} {\sin ^5}t{\cos ^2}t = \hfill \\ = - \int\limits_0^1 {3{a^2}da} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {d(\cos t)} {\cos ^2}t{(1 - {\cos ^2}t)^2} = \left| {p = \cos t} \right| = - \int\limits_0^1 {3{a^2}da} int\limits_1^0 {{p^2}{{(1 - {p^2})}^2}dp} = \hfill \\ = \int\limits_0^1 {3{a^2}da} \int\limits_0^1 {{p^2}{{(1 - {p^2})}^2}dp} = \frac{8}{{105}} \hfill \\ \end{gathered}[/math] Ну а после вычислений координаты должны совпасть: [math]x_c=\frac{M_x}{S},\quad y_c=\frac{M_y}{S}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю neurocore "Спасибо" сказали: Scout |
||
| neurocore |
|
|
|
1)
[math]\begin{gathered}x = a(t - \sin t) \hfill \\ y = a(1 - \cos t) \hfill \\ J = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {t - \sin t} & {a(1 - \cos t)} \\ {(1 - \cos t)} & {a\sin t} \\ \end{array} } \right| = at\sin t - {\sin ^2}t - a{\sin ^2}t = at\sin t - (a + 1){\sin ^2}t \hfill \\ S = \int\limits_0^1 {da} \int\limits_0^{2\pi } {dt} (at\sin t - (a + 1){\sin ^2}t) \hfill \\ {M_x} = \int\limits_0^1 {ada} \int\limits_0^{2\pi } {dt} (t - \sin t)(at\sin t - (a + 1){\sin ^2}t) \hfill \\ M_y= \int\limits_0^1 {ada} \int\limits_0^{2\pi } {dt} (1 - \cos t)(at\sin t - (a + 1){\sin ^2}t) \hfill \\ \end{gathered}[/math] Тут трудностей возникнуть не должно: интегрирование по частям, где t есть, ну и линейность интеграла используйте) |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю neurocore "Спасибо" сказали: Scout |
||
| Shaman |
|
|
|
У меня результаты другие.
[math]S = \int\limits_0^{\pi /2} {\left| {dx} \right|} \,\int\limits_0^{y(t)} {1\,dt = \int\limits_0^{\pi /2} {\left( {3 \cdot a \cdot {{\cos }^2}(t) \cdot \sin (t)} \right) \cdot \left( {a \cdot {{\sin }^3}(t)} \right)\,dt} = 3{a^2}\int\limits_0^{\pi /2} {{{\cos }^2}(t) \cdot {{\sin }^4}(t)\,dt} } = \frac{{3 \cdot {a^2} \cdot \pi }}{{32}}[/math] [math]{X_c} = \frac{1}{S}\int\limits_0^{\pi /2} {x(t)} \,\left| {dx} \right|\int\limits_0^{y(t)} {1\,dt} \, = \frac{1}{S}\int\limits_0^{\pi /2} {\left( {a \cdot {{\cos }^3}(t)} \right) \cdot \left( {3 \cdot a \cdot {{\cos }^2}(t) \cdot \sin (t)} \right) \cdot \left( {a \cdot {{\sin }^3}(t)} \right)\,dt} =[/math] [math]= \frac{{3{a^3}}}{S}\int\limits_0^{\pi /2} {{{\cos }^5}(t) \cdot {{\sin }^4}(t)\,dt} = \frac{{3{a^3}}}{S} \cdot \frac{8}{{315}} = \frac{{a \cdot 256}}{{\pi \cdot 315}}[/math] Заметьте, что здесь [math]\frac{S}{{{a^2}}} = \frac{{3 \cdot \pi }}{{32}} \approx {\text{0}}{\text{.29452}}[/math] То есть меньше 0.5, что и так ясно из графика. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Shaman "Спасибо" сказали: Scout |
||
| neurocore |
|
|
|
Мож я и ошибся в вычислениях) Но то, что координаты совпадают - это наверняка)
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Shaman |
|
|
|
[math]\frac{{{X_c}}}{a} = \frac{{256}}{{\pi \cdot 315}} \approx {\text{0}}{\text{.25869}}[/math]
Тоже правдоподобнее, чем 8/105 и даже 16/105 ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Shaman "Спасибо" сказали: Scout |
||
| Scout |
|
|
|
Большое спасибо всем за внимание и помощь! Надеюсь, задача оказалась для всех вас интересной.
Однако, и это еще не последний вопрос в примере. Остается еще непонятным следующее: под интегралом в формуле для координаты центра масс участвует не просто якобиан, а модуль якобиана. Вопрос: почему мы этот модуль раскрываем как всюду положительное выражение? Почему в данном случае он больше нуля- не с точки зрения ориентации поверхности. Другими словами, как можно доказать, что модуль раскрывается с плюсом? С помощью неравенств, производной?... Доказать нужно обязательно. |
||
| Вернуться к началу | ||
| neurocore |
|
|
|
Якобиан - это матрица. Модуль его - модуль матрицы, вычисляется по обычным правилам определителя. Ну а знак - в зависимости от параметра t, в данном случае. Если границы взяты правильно (пределы интегрирования), то знак должен быть положительным
|
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 9 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |