| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Найти объем тела с помощью двойного интеграла http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=13951 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | 7777 [ 23 янв 2012, 16:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Найти объем тела с помощью двойного интеграла |
V: y=x^2; y+z=9; z=0 Очень нужно.Спасибо |
|
| Автор: | Shaman [ 23 янв 2012, 17:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти объем тела с помощью двойного интеграла |
7777 писал(а): V: y=x^2; y+z=9; z=0 Очень нужно.Спасибо [math]\int\limits_{ - 3}^3 {\int\limits_{{x^2}}^9 {(9 - y)dydx} }[/math] |
|
| Автор: | 7777 [ 23 янв 2012, 17:19 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти объем тела с помощью двойного интеграла |
а можно подробнее.. |
|
| Автор: | Alexdemath [ 23 янв 2012, 17:21 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти объем тела с помощью двойного интеграла |
7777, сначала найдите точки пересечения параболического цилиндра и плоскостей, для чего решите систему уравнений: [math]\begin{cases}y=x^2,\\ y+z=9,\\ z=0,\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x^2=9,\\ y=9,\\ z=0,\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_{1,2}=\pm3,\\ y_{1,2}=9,\\ z_{1,2}=0.\end{cases}[/math] Теперь запишите проекцию [math]D_{xy}[/math] тела [math]V[/math] на плоскость [math]Oxy:[/math] [math]D_{xy}= \Bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon -3\leqslant x\leqslant3,~ x^2\leqslant y\leqslant9\Bigr\}.[/math] А теперь, зная пределы изменения [math]x[/math] и [math]y[/math], составляйте двойной интеграл и вычисляйте его: [math]\begin{aligned}V&= \iint\limits_{D_{xy}}f(x,y)\,dxdy= \int\limits_{-3}^3 dx \int\limits_{x^2}^9 (9-y)\,dy= \int\limits_{-3}^3 dx\!\left.{\left(9y-\frac{1}{2}\,y^2\right)}\!\right|_{{x^2}}^9 = \int\limits_{-3}^3 \!\left[81-\frac{81}{2}- \left(9x^2-\frac{1}{2}\,x^4\right)\right]\!dx=\\[2pt] &=\frac{1}{2}\int\limits_{-3}^3 (x^4-18x^2+81)\,dx= \int\limits_0^3 (x^4-18x^2+81)\,dx= \left. {\left(\frac{1}{5}\,x^5-6x^3+81x\right)}\! \right|_0^3=\\[2pt] &=\frac{243}{5}- 6\cdot27+81\cdot3= \frac{243}{5}-162+243= \frac{243}{5}+81= \frac{648}{5}\end{aligned}[/math] Смотрите чертёж данного тела [math]V[/math]; если присмотритесь, то заметите его проекцию [math]D_{xy}[/math] на плоскость [math]Oxy[/math] (область, образованная пересечением параболы [math]y=x^2[/math] и прямой [math]y=9[/math]). |
|
| Автор: | 7777 [ 23 янв 2012, 17:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти объем тела с помощью двойного интеграла |
спасибо)) |
|
| Автор: | Alexdemath [ 23 янв 2012, 17:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти объем тела с помощью двойного интеграла |
Вот код для построения данного тела в Maple plot3d([9-y], x=-3..3, y=x^2..9, filled=true, style=hidden, color=cyan, transparency=0.25, lightmodel=light2, axes=normal, orientation=[30,56,-8], scaling=constrained) |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|