Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти объем тела с помощью двойного интеграла
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=13951
Страница 1 из 1

Автор:  7777 [ 23 янв 2012, 16:23 ]
Заголовок сообщения:  Найти объем тела с помощью двойного интеграла

V: y=x^2; y+z=9; z=0

Очень нужно.Спасибо

Автор:  Shaman [ 23 янв 2012, 17:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти объем тела с помощью двойного интеграла

7777 писал(а):
V: y=x^2; y+z=9; z=0
Очень нужно.Спасибо

[math]\int\limits_{ - 3}^3 {\int\limits_{{x^2}}^9 {(9 - y)dydx} }[/math]

Автор:  7777 [ 23 янв 2012, 17:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти объем тела с помощью двойного интеграла

а можно подробнее..

Автор:  Alexdemath [ 23 янв 2012, 17:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти объем тела с помощью двойного интеграла

7777, сначала найдите точки пересечения параболического цилиндра и плоскостей, для чего решите систему уравнений:

[math]\begin{cases}y=x^2,\\ y+z=9,\\ z=0,\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x^2=9,\\ y=9,\\ z=0,\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_{1,2}=\pm3,\\ y_{1,2}=9,\\ z_{1,2}=0.\end{cases}[/math]

Теперь запишите проекцию [math]D_{xy}[/math] тела [math]V[/math] на плоскость [math]Oxy:[/math] [math]D_{xy}= \Bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon -3\leqslant x\leqslant3,~ x^2\leqslant y\leqslant9\Bigr\}.[/math]

А теперь, зная пределы изменения [math]x[/math] и [math]y[/math], составляйте двойной интеграл и вычисляйте его:

[math]\begin{aligned}V&= \iint\limits_{D_{xy}}f(x,y)\,dxdy= \int\limits_{-3}^3 dx \int\limits_{x^2}^9 (9-y)\,dy= \int\limits_{-3}^3 dx\!\left.{\left(9y-\frac{1}{2}\,y^2\right)}\!\right|_{{x^2}}^9 = \int\limits_{-3}^3 \!\left[81-\frac{81}{2}- \left(9x^2-\frac{1}{2}\,x^4\right)\right]\!dx=\\[2pt] &=\frac{1}{2}\int\limits_{-3}^3 (x^4-18x^2+81)\,dx= \int\limits_0^3 (x^4-18x^2+81)\,dx= \left. {\left(\frac{1}{5}\,x^5-6x^3+81x\right)}\! \right|_0^3=\\[2pt] &=\frac{243}{5}- 6\cdot27+81\cdot3= \frac{243}{5}-162+243= \frac{243}{5}+81= \frac{648}{5}\end{aligned}[/math]

Смотрите чертёж данного тела [math]V[/math]; если присмотритесь, то заметите его проекцию [math]D_{xy}[/math] на плоскость [math]Oxy[/math] (область, образованная пересечением параболы [math]y=x^2[/math] и прямой [math]y=9[/math]).

Пересечение параболического цилиндра и плоскостей

Автор:  7777 [ 23 янв 2012, 17:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти объем тела с помощью двойного интеграла

спасибо))

Автор:  Alexdemath [ 23 янв 2012, 17:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти объем тела с помощью двойного интеграла

Вот код для построения данного тела в Maple

plot3d([9-y], x=-3..3, y=x^2..9, filled=true, style=hidden, color=cyan, transparency=0.25, lightmodel=light2, axes=normal, orientation=[30,56,-8], scaling=constrained)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/