Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Двойной интеграл в полярных координатах. (Верно ли)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=13799
Страница 1 из 1

Автор:  LWGBBD [ 21 янв 2012, 22:47 ]
Заголовок сообщения:  Двойной интеграл в полярных координатах. (Верно ли)

Проверьте, пожалуйста, верно ли решение
Основные сомнения вызваны получившимся ответом, я наверное что-то напутала с пределами интегрирования.

Условие:
Вычислить двойной интеграл, перейдя к полярным координатам.
[math]\iint\limits_D {ydxdy}[/math], если [math]D:{x^2} + {y^2} \leqslant 4x[/math]

Решение:
Используя формулу:
[math]\iint\limits_D {f\left( {x,y} \right)dxdy} = \iint\limits_{{D^*}} {f\left( {r \cdot \cos \phi ,r \cdot \sin \phi } \right) \cdot rdrd\phi } = \int\limits_\alpha ^\beta {d\phi } \int\limits_{{r_1}\left( \phi \right)}^{{r_2}\left( \phi \right)} {f\left( {r \cdot \cos \phi ,r \cdot \sin \phi } \right) \cdot rdr}[/math]
, где
[math]D[/math] - область в декартовой системе координат.
[math]{D^*}[/math] - область в полярной системе координат.
[math]\alpha \leqslant \phi \leqslant \beta[/math]
[math]{r_1}\left( \phi \right) \leqslant r \leqslant {r_2}\left( \phi \right)[/math]

Получаем:
[math]\iint\limits_D {ydxdy} = \iint\limits_{{D^*}} {r \cdot \sin \phi \cdot rdrd\phi } = \iint\limits_{{D^*}} {{r^2}\sin \phi drd\phi }[/math]

Областью интегрирования является окружность
Найдем пределы интегрирования
[math]{D^*}:{r^2} \cdot {\cos ^2}\phi + {r^2} \cdot {\sin ^2}\phi \leqslant 4r \cdot \cos \phi[/math]
[math]{D^*}:{r^2} \cdot \left( {{{\cos }^2}\phi + {{\sin }^2}\phi } \right) \leqslant 4r \cdot \cos \phi[/math]
[math]{D^*}:{r^2} \leqslant 4r \cdot \cos \phi[/math]
[math]{D^*}:r \leqslant 4\cos \phi[/math]
Следовательно
[math]- \frac{\pi }{2} \leqslant \phi \leqslant \frac{\pi }{2}[/math]
[math]0 \leqslant r \leqslant 4\cos \phi[/math]

[math]\iint\limits_{{D^*}} {{r^2}\sin \phi drd\phi } = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin \phi d\phi } \int\limits_0^{4\cos \phi } {{r^2}dr} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left. {\frac{{{r^3}\sin \phi }}{3}} \right|_0^{4\cos \phi }d\phi } = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\left( {4\cos \phi } \right)}^3}\sin \phi }}{3}d\phi } =[/math]

[math]= \frac{{64}}{3}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^3}\phi \sin \phi d\phi } = \frac{{64}}{3}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}\phi \cos \phi \sin \phi d\phi } = \frac{{64}}{3}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + \cos 2\phi }}{2} \cdot \frac{{\sin 2\phi }}{2}d\phi } =[/math]

[math]= \frac{{16}}{3}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin 2\phi + \cos 2\phi \sin 2\phi } \right)d\phi } = \frac{{16}}{3}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin 2\phi + \frac{{\sin 4\phi }}{2}} \right)d\phi } = \frac{8}{3}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2\sin 2\phi + \sin 4\phi } \right)d\phi } =[/math]

[math]= - \frac{8}{3}\left. {\left( {\cos 2\phi + \frac{{\cos 4\phi }}{4}} \right)} \right|_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} = - \frac{8}{3}\left( {\cos \pi + \frac{{\cos 2\pi }}{4} - \left( {\cos \left( { - \pi } \right) + \frac{{\cos \left( { - 2\pi } \right)}}{4}} \right)} \right) = - \frac{8}{3}\left( { - 1 + \frac{1}{4} + 1 - \frac{1}{4}} \right) = 0[/math]


Я даже интеграл вычислила другим способом немного, а результат получился тот же

[math]= \frac{{64}}{3}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^3}\phi \sin \phi d\phi } = \frac{{64}}{3}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} { - \frac{{{{\cos }^3}\phi \sin \phi }}{{\sin \phi }}d\left( {\cos \phi } \right)} = - \frac{{64}}{3}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^3}\phi d\left( {\cos \phi } \right)} =[/math]

[math]= - \frac{{64}}{3}\left. {\left( {\frac{{{{\cos }^4}\phi }}{4}} \right)} \right|_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} = - \frac{{16}}{3}\left( {{{\cos }^4}\frac{\pi }{2} - {{\cos }^4}\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)} \right) = - \frac{{16}}{3}\left( {0 - 0} \right) = 0[/math]

Автор:  arkadiikirsanov [ 21 янв 2012, 22:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойной интеграл в полярных координатах. (Верно ли)

Ответ верен и очевиден безо всякого интегрирования, поскольку область симметрична относительно оси ОХ.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/