Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Двойной интеграл в полярных координатах. (Верно ли)
СообщениеДобавлено: 21 янв 2012, 22:47 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 дек 2011, 00:59
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Проверьте, пожалуйста, верно ли решение
Основные сомнения вызваны получившимся ответом, я наверное что-то напутала с пределами интегрирования.

Условие:
Вычислить двойной интеграл, перейдя к полярным координатам.
[math]\iint\limits_D {ydxdy}[/math], если [math]D:{x^2} + {y^2} \leqslant 4x[/math]

Решение:
Используя формулу:
[math]\iint\limits_D {f\left( {x,y} \right)dxdy} = \iint\limits_{{D^*}} {f\left( {r \cdot \cos \phi ,r \cdot \sin \phi } \right) \cdot rdrd\phi } = \int\limits_\alpha ^\beta {d\phi } \int\limits_{{r_1}\left( \phi \right)}^{{r_2}\left( \phi \right)} {f\left( {r \cdot \cos \phi ,r \cdot \sin \phi } \right) \cdot rdr}[/math]
, где
[math]D[/math] - область в декартовой системе координат.
[math]{D^*}[/math] - область в полярной системе координат.
[math]\alpha \leqslant \phi \leqslant \beta[/math]
[math]{r_1}\left( \phi \right) \leqslant r \leqslant {r_2}\left( \phi \right)[/math]

Получаем:
[math]\iint\limits_D {ydxdy} = \iint\limits_{{D^*}} {r \cdot \sin \phi \cdot rdrd\phi } = \iint\limits_{{D^*}} {{r^2}\sin \phi drd\phi }[/math]

Областью интегрирования является окружность
Найдем пределы интегрирования
[math]{D^*}:{r^2} \cdot {\cos ^2}\phi + {r^2} \cdot {\sin ^2}\phi \leqslant 4r \cdot \cos \phi[/math]
[math]{D^*}:{r^2} \cdot \left( {{{\cos }^2}\phi + {{\sin }^2}\phi } \right) \leqslant 4r \cdot \cos \phi[/math]
[math]{D^*}:{r^2} \leqslant 4r \cdot \cos \phi[/math]
[math]{D^*}:r \leqslant 4\cos \phi[/math]
Следовательно
[math]- \frac{\pi }{2} \leqslant \phi \leqslant \frac{\pi }{2}[/math]
[math]0 \leqslant r \leqslant 4\cos \phi[/math]

[math]\iint\limits_{{D^*}} {{r^2}\sin \phi drd\phi } = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin \phi d\phi } \int\limits_0^{4\cos \phi } {{r^2}dr} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left. {\frac{{{r^3}\sin \phi }}{3}} \right|_0^{4\cos \phi }d\phi } = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\left( {4\cos \phi } \right)}^3}\sin \phi }}{3}d\phi } =[/math]

[math]= \frac{{64}}{3}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^3}\phi \sin \phi d\phi } = \frac{{64}}{3}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}\phi \cos \phi \sin \phi d\phi } = \frac{{64}}{3}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + \cos 2\phi }}{2} \cdot \frac{{\sin 2\phi }}{2}d\phi } =[/math]

[math]= \frac{{16}}{3}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin 2\phi + \cos 2\phi \sin 2\phi } \right)d\phi } = \frac{{16}}{3}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin 2\phi + \frac{{\sin 4\phi }}{2}} \right)d\phi } = \frac{8}{3}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2\sin 2\phi + \sin 4\phi } \right)d\phi } =[/math]

[math]= - \frac{8}{3}\left. {\left( {\cos 2\phi + \frac{{\cos 4\phi }}{4}} \right)} \right|_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} = - \frac{8}{3}\left( {\cos \pi + \frac{{\cos 2\pi }}{4} - \left( {\cos \left( { - \pi } \right) + \frac{{\cos \left( { - 2\pi } \right)}}{4}} \right)} \right) = - \frac{8}{3}\left( { - 1 + \frac{1}{4} + 1 - \frac{1}{4}} \right) = 0[/math]


Я даже интеграл вычислила другим способом немного, а результат получился тот же

[math]= \frac{{64}}{3}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^3}\phi \sin \phi d\phi } = \frac{{64}}{3}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} { - \frac{{{{\cos }^3}\phi \sin \phi }}{{\sin \phi }}d\left( {\cos \phi } \right)} = - \frac{{64}}{3}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^3}\phi d\left( {\cos \phi } \right)} =[/math]

[math]= - \frac{{64}}{3}\left. {\left( {\frac{{{{\cos }^4}\phi }}{4}} \right)} \right|_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} = - \frac{{16}}{3}\left( {{{\cos }^4}\frac{\pi }{2} - {{\cos }^4}\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)} \right) = - \frac{{16}}{3}\left( {0 - 0} \right) = 0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Двойной интеграл в полярных координатах. (Верно ли)
СообщениеДобавлено: 21 янв 2012, 22:51 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
11 май 2011, 16:52
Сообщений: 4429
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
1115 раз в 923 сообщениях
Очков репутации: 409

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ответ верен и очевиден безо всякого интегрирования, поскольку область симметрична относительно оси ОХ.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю arkadiikirsanov "Спасибо" сказали:
LWGBBD
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Двойной интеграл в полярных координатах

в форуме Интегральное исчисление

Lion223

2

305

10 ноя 2016, 01:17

Двойной интеграл в полярных координатах

в форуме Интегральное исчисление

Podolov

12

893

27 дек 2014, 18:31

Двойной интеграл в полярных координатах

в форуме Интегральное исчисление

Inquisit

1

356

25 янв 2015, 12:40

Двойной интеграл в полярных координатах

в форуме Интегральное исчисление

Knazev

4

637

26 ноя 2016, 09:45

Двойной интеграл в полярных координатах

в форуме Интегральное исчисление

Andrey82

1

152

02 мар 2022, 05:03

Двойной интеграл в полярных координатах

в форуме Интегральное исчисление

marinaustinova

3

382

19 авг 2016, 11:23

Вычислить двойной интеграл в полярных координатах

в форуме Интегральное исчисление

Zed

2

361

18 окт 2015, 17:38

Правильно ли решен интеграл в полярных координатах

в форуме Интегральное исчисление

Uno

1

181

06 янв 2023, 02:52

Площадь через интеграл в полярных координатах

в форуме Интегральное исчисление

ExtreMaLLlka

4

609

19 дек 2015, 00:04

МКЭ в полярных координатах

в форуме Дифференциальное исчисление

ffgghhas

5

55

26 ноя 2024, 15:02


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved