Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

найти площадь фигуры ограниченной данными линиями
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=13790
Страница 1 из 2

Автор:  sasha_assassin [ 21 янв 2012, 19:49 ]
Заголовок сообщения:  найти площадь фигуры ограниченной данными линиями

2.Найдите площадь фигуры, ограниченной данными линиями (для удобства вычислений пользуемся заменой переменных)

Вложения:
.jpg
.jpg [ 35.66 Кб | Просмотров: 79 ]

Автор:  Shaman [ 21 янв 2012, 20:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти площадь фигуры ограниченной данными линиями

На графике это пересечение кривых.
Какая именно зона - не определено. Возможно, внутренняя, а возможно серп.
Но не треугольничек.
Изображение

Автор:  sasha_assassin [ 21 янв 2012, 20:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти площадь фигуры ограниченной данными линиями

а сможете прислать решение?

Автор:  Shaman [ 21 янв 2012, 20:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти площадь фигуры ограниченной данными линиями

Для этого надо решать )).
Может, стоит сначала уточнить условие?

Автор:  sasha_assassin [ 21 янв 2012, 20:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти площадь фигуры ограниченной данными линиями

Найдите площадь фигуры, ограниченной данными линиями (для удобства вычислений пользуемся заменой переменных) а это и есть условие. больше нет данных к этой задаче.

Автор:  Shaman [ 21 янв 2012, 20:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти площадь фигуры ограниченной данными линиями

Начните с того, что определите координаты этих двух точек пересечения.

Автор:  sasha_assassin [ 21 янв 2012, 21:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти площадь фигуры ограниченной данными линиями

а как найти то. в этом и проблема)))

Автор:  Shaman [ 21 янв 2012, 21:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти площадь фигуры ограниченной данными линиями

Это не всё, потом придётся интегрировать )))
Может кто ещё на форуме поможет, мне сейчас некогда.
Если нет - завтра посмотрю.

Автор:  sasha_assassin [ 21 янв 2012, 21:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти площадь фигуры ограниченной данными линиями

ну глянь если не трудно

Автор:  erjoma [ 22 янв 2012, 03:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти площадь фигуры ограниченной данными линиями

Перейдем к полярным координатам
[math]\left\{ \begin{gathered} x = r\cos \varphi \hfill \\ y = r\sin \varphi \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math]
[math]\begin{gathered} {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} = 8xy \Leftrightarrow {r^2} = 4\sin 2\varphi \hfill \\ {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {r^2} - 2r\left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} r = \cos \varphi + \sin \varphi + \sqrt {\sin 2\varphi } \hfill \\ r = \cos \varphi + \sin \varphi - \sqrt {\sin 2\varphi } \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}[/math]
Найдем точки пересечения кривых.
[math]\begin{gathered} {r^2} - 2r\left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right) + 1 = 0 \hfill \\ {r^2} + 1 = 2r\left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right) \hfill \\ {\left( {{r^2} + 1} \right)^2} = 4{r^2}{\left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right)^2} \hfill \\ {\left( {{r^2} + 1} \right)^2} = 4{r^2}\left( {1 + \sin 2\varphi } \right) \hfill \\ {\left( {4\sin 2\varphi + 1} \right)^2} = 16\sin 2\varphi \left( {1 + \sin 2\varphi } \right) \hfill \\ \sin 2\varphi = \frac{1}{8} \hfill \\ {\varphi _1} = \frac{1}{2}\arcsin \frac{1}{8} \hfill \\ {\varphi _2} = \frac{\pi }{2} - \frac{1}{2}\arcsin \frac{1}{8} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Искомая площадь равна [math]S = \frac{1}{2}\int\limits_{{\varphi _1}}^{{\varphi _2}} {\left( {4\sin 2\varphi - {{\left( {\cos \varphi + \sin \varphi - \sqrt {\sin 2\varphi } } \right)}^2}} \right)d\varphi }[/math]

P.S. Интеграл не вычислял, т.к. Maple для данного интеграла выдает очень длинный результат с эллиптическими функциями.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/