| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| найти площадь фигуры ограниченной данными линиями http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=13790 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | Shaman [ 21 янв 2012, 20:01 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: найти площадь фигуры ограниченной данными линиями |
На графике это пересечение кривых. Какая именно зона - не определено. Возможно, внутренняя, а возможно серп. Но не треугольничек. |
|
| Автор: | sasha_assassin [ 21 янв 2012, 20:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: найти площадь фигуры ограниченной данными линиями |
а сможете прислать решение? |
|
| Автор: | Shaman [ 21 янв 2012, 20:38 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: найти площадь фигуры ограниченной данными линиями |
Для этого надо решать )). Может, стоит сначала уточнить условие? |
|
| Автор: | sasha_assassin [ 21 янв 2012, 20:39 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: найти площадь фигуры ограниченной данными линиями |
Найдите площадь фигуры, ограниченной данными линиями (для удобства вычислений пользуемся заменой переменных) а это и есть условие. больше нет данных к этой задаче. |
|
| Автор: | Shaman [ 21 янв 2012, 20:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: найти площадь фигуры ограниченной данными линиями |
Начните с того, что определите координаты этих двух точек пересечения. |
|
| Автор: | sasha_assassin [ 21 янв 2012, 21:14 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: найти площадь фигуры ограниченной данными линиями |
а как найти то. в этом и проблема))) |
|
| Автор: | Shaman [ 21 янв 2012, 21:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: найти площадь фигуры ограниченной данными линиями |
Это не всё, потом придётся интегрировать ))) Может кто ещё на форуме поможет, мне сейчас некогда. Если нет - завтра посмотрю. |
|
| Автор: | sasha_assassin [ 21 янв 2012, 21:29 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: найти площадь фигуры ограниченной данными линиями |
ну глянь если не трудно |
|
| Автор: | erjoma [ 22 янв 2012, 03:44 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: найти площадь фигуры ограниченной данными линиями |
Перейдем к полярным координатам [math]\left\{ \begin{gathered} x = r\cos \varphi \hfill \\ y = r\sin \varphi \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math] [math]\begin{gathered} {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} = 8xy \Leftrightarrow {r^2} = 4\sin 2\varphi \hfill \\ {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {r^2} - 2r\left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} r = \cos \varphi + \sin \varphi + \sqrt {\sin 2\varphi } \hfill \\ r = \cos \varphi + \sin \varphi - \sqrt {\sin 2\varphi } \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}[/math] Найдем точки пересечения кривых. [math]\begin{gathered} {r^2} - 2r\left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right) + 1 = 0 \hfill \\ {r^2} + 1 = 2r\left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right) \hfill \\ {\left( {{r^2} + 1} \right)^2} = 4{r^2}{\left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right)^2} \hfill \\ {\left( {{r^2} + 1} \right)^2} = 4{r^2}\left( {1 + \sin 2\varphi } \right) \hfill \\ {\left( {4\sin 2\varphi + 1} \right)^2} = 16\sin 2\varphi \left( {1 + \sin 2\varphi } \right) \hfill \\ \sin 2\varphi = \frac{1}{8} \hfill \\ {\varphi _1} = \frac{1}{2}\arcsin \frac{1}{8} \hfill \\ {\varphi _2} = \frac{\pi }{2} - \frac{1}{2}\arcsin \frac{1}{8} \hfill \\ \end{gathered}[/math] Искомая площадь равна [math]S = \frac{1}{2}\int\limits_{{\varphi _1}}^{{\varphi _2}} {\left( {4\sin 2\varphi - {{\left( {\cos \varphi + \sin \varphi - \sqrt {\sin 2\varphi } } \right)}^2}} \right)d\varphi }[/math] P.S. Интеграл не вычислял, т.к. Maple для данного интеграла выдает очень длинный результат с эллиптическими функциями. |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|